第二讲数列求和及综合应用(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在数列{an}中,an+1=2an-1,a3=2,设其前n项和为Sn,则S6=()A.B.C.15D.27【解析】选A.因为an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),所以{an-1}是以2为公比的等比数列,所以an-1=(a1-1)2n-1,因为a3=2,所以a1=,所以an=1+2n-3,所以S6=6+=.2.(2018·广东省化州市二模)已知有穷数列{an}中,n=1,2,3,…,729,且an=(2n-1)(-1)n+1,从数列{an}中依次取出a2,a5,a14,…构成新数列{bn},容易发现数列{bn}是以-3为首项,-3为公比的等比数列,记数列{an}的所有项的和为S,数列{bn}的所有项的和为T,则()A.S>TB.S=TC.ST.3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1为函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最大值,且满足an-anSn+1=-anSn,则数列{an}的前2018项之积A2018=()A.1B.C.-1D.2【解析】选A.因为a1为函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最大值,所以a1=2,因为an-anSn+1=-anSn,所以(Sn+1-Sn)an=an-1,所以an+1=,所以a2=,a3=-1,a4=2所以数列{an}是周期数列,周期为3,所以{an}的前2018项之积A2018=a1·a2·a3·…·a2018=(-1)672×1=1.4.(2018·河南省六市联考)已知数列{an}满足:an+1+(-1)n+1an=2,则其前100项的和为()A.250B.200C.150D.100【解析】选D.因为an+1+(-1)n+1an=2,所以a1+a2=2,a3+a4=2,a5+a6=2,…,a99+a100=2,所以其前100项和为2×50=100.5.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=4n-2(n∈N*),则使an≥163的正整数n的最小值为()A.8B.10C.12D.14【解析】选B.由题意得an+1-an=4n-2,则当n≥2时,a2-a1=2,a3-a2=6,…,an-an-1=4n-6,这n-1个式子相加,就有an-a1==2(n-1)2,即an=2(n-1)2+1=2n2-4n+3,当n=1时,a1=1也满足上式,所以an=2n2-4n+3,由an≥163得2n2-4n+3≥163,即n2-2n-80≥0,解得n≥10或n≤-8,所以n≥10,即使an≥163的正整数n的最小值为10.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),记数列{an}的前n项和Sn,则在S1,S2,…,S2017中,有____________个有理数.【解析】依题意,an====-,故Sn=a1+a2+…+an=1-,因为44<<45,故n+1=22,32,…,442,故有43个有理数.答案:437.(2018·湖北省联考试题)“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现,因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列{an}满足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),记其前n项和为Sn,设a2018=t(t为常数),则S2016+S2015-S2014-S2013=____________(用t表示).【解析】S2016+S2015-S2014-S2013=a2016+a2015+a2015+a2014=a2017+a2016=a2018=t.答案:t8.有下列命题:①等比数列{an}中,前n项和为Sn,公比为q,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍然是等比数列,其公比为qn;②若数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,则数列是等差数列;③若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+3n(n∈N*),则++…+=2n2+6n;④若数列{an}的前n项和为Sn,Sn=20n-19,则数列{an}是等比数列.其中正确命题的序号是____________(填序号).【解析】①错,q=-1,n=2,S4-S2=0,不符合等比数列.②因为数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,所以Sn=na1+d,所以=a1+(n-1),所以数列是以a1为首项,以为公差的等差数列.③++…+=n2+3n中n用n-1代替得++…+=(n-1)2+3(n-1),两式作差得=2n+2(n≥2),an=4(n+1)2,a1=16,符合.=4(n+1),所以++…+=2n2+6n.④当n=1时,a1=S1=201-19=20-18,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=20n-19-20n-20=19×20n-20,所以an=,所以数列{an}不是等比数列答案:②③三、解答题(每小题10分,共30分)9.(2018·亳州市一模)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an-λ,其中λ是不为零的常数n∈N*.(1)求{an}的通项公式.(2)若λ=3,记bn=,求数列{bn·}的前n项和Tn.【解析】(1)由已知2Sn=3an-λ可得:2Sn+1=3an+1-λ两式相减得:2an+1=3an+1-3an,即an+1=3an因为2S1=3a1-λ,所以a1=λ≠0,所以an≠0,所以=3,所以{...
