考点规范练44圆与圆的方程考点规范练B册第29页基础巩固组1.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是()A.30B.18C.10D.5答案:C解析:由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为+3=8,最小距离为-3=2,故最大距离与最小距离的和为10.2.实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为()A.2B.1C.D.答案:B解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.(2015全国Ⅱ,理7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.10答案:C解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得解得则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|==4.4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1答案:A解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5.已知圆C的圆心在曲线y=上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则△OAB的面积等于()A.2B.3C.4D.8导学号〚92950853〛答案:C解析:设圆心的坐标是. 圆C过坐标原点,∴|OC|2=t2+,∴圆C的方程为(x-t)2+=t2+.令x=0,得y1=0,y2=,∴B点的坐标为;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴A点的坐标为(2t,0),∴S△OAB=|OA|·|OB|=×|2t|=4,即△OAB的面积为4.6.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)-1-解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),再取AB中点为P,连接CP,CB,则△BPC为直角三角形,得|BC|=r==b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),则kBC=-1.圆C在点B处的切线方程为y=x++1,令y=0,得x=--1,即切线在x轴上的截距为-1-.7.(2015河北衡水中学高三一调)若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是.答案:4-解析:因为a,b,c成等差数列,故有2b=a+c,即a-2b+c=0,对比方程ax+by+c=0可知,动直线恒过定点Q(1,-2).由于点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,即∠PMQ=90°,所以点M在以PQ为直径的圆上,该圆的圆心为PQ的中点C(0,-1),且半径为,再由点N到圆心C的距离为NC=4,所以线段MN的最小值为NC-r=4-.8.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),则直角顶点C的方程为.答案:(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)解析:设C的坐标为(x,y),由题意可知=0,即(x+1,y)·(x-3,y)=0,整理得(x-1)2+y2=4.又C与A,B构成三角形,所以x≠3,且x≠-1,故C的方程为(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).9.根据下列条件,求圆的方程:(1)一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2;(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).解:(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.①又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0,③解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.(2)(方法一)如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得=1,则x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.导学号〚92950854〛10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得由此时,圆P的半径r=.由此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.能力提升组11.若直线l...
