高考数学 热点难点突破技巧 第02讲 导数中的参数问题的处理方法-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第02讲：导数中参数问题的处理方法【知识要点】1、导数中参数的问题是高考的热点、重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处理最常用的有分离参数和分类讨论两种方法,并且先考虑分离参数，如果分离参数不行或不方便，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点.2、参数的问题更难一点的是把分离参数和分类讨论结合起来，对学生的能力要求更高.【方法讲评】方法一分离参数法使用情景参数的系数符号能够确定，一般是零点问题、恒成立问题和存在性问题.解题步骤如果参数的系数的符号确定，可以先分离参数，再转化为函数最值问题解答.【例1】【2017课标3，理21】已知函数.（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.（2）由（1）知当时，.令得.从而.故.而，所以的最小值为.【点评】（1）本题的第1问中，的系数符号不确定，所以不便利用分离参数解答,只能利用分类讨论求.(2)第2问的难点在于思路，观察到不等式和已知条件的联系，这里要利用分析法，，所以，所以，所以联系到已知条件和第一问，由第1问得当时，.所以要给这里的赋值，后面问题就好解答了.（3）仅求得是不够的，还要说明,才能得到的最小值为.（4）求函数的单调区间和极值是不能采用分离参数法的，该分类讨论的必须分类讨论.【反馈检测1】已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值．【反馈检测2】已知，．（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；（3）已知不等式恒成立，若方程恰有两个不等实根，求的取值范围．方法二分类讨论法使用情景参数的系数的符号不确定.解题步骤就参数分类讨论解答.【例2】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上所述，的取值范围为.【点评】（1）第1问为什么要分类讨论?，方程两边需要都除以，所以要就还是分类讨论.当时，，要解这个方程，需要就分类讨论.（2）由于第1问要分类讨论，第2问要用到第1问的结论，所以第2问也要分类讨论.【反馈检测3】（2017山东高考文科20）已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.高考数学热点难点突破技巧第02讲：导数中参数问题的处理方法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）．【反馈检测1详细解析】（1）依题意，（2）由已知得，令，则，所以在单调递增，∴，∴，即的最大值为【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）．【反馈检测2详细解析】（1），由题意的解集为，即的两根分别是，，代入得，∴．（2）由（1）知，，∴，，∴点处的切线斜率，∴函数的图象在点处的切线方程为，即．（3）由题意知对上恒成立，可得对上恒成立，设，则，令，得，（舍），当时，；当时，，∴当时，取得最大值，，∴．令，则，所以在递减，在递增，∵，，当时，，所以要把方程恰有两个不等实根，只需．【反馈检测3答案】（1）；（2）见解析.【反馈检测3详细解析】（Ⅱ）因为，所以(1)时,当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是；当时，取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.