高考数学二轮复习 大题专攻练11 函数与导数A组 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

高考大题专攻练11

函数与导数(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点

已知函数f(x)=x·ex-1-a(x+lnx)，a∈R

(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为x轴，求a的值

(2)在(1)的条件下，求f(x)的单调区间

(3)若任意x>0，f(x)≥f(m)恒成立，且f(m)≥0，求证：f(m)≥2(m2-m3)

【解析】(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，f′(x)=ex-1+x·ex-1-a，故f(1)=1-a，f′(1)=2-2a，故切线方程是y-(1-a)=(2-2a)(x-1)，即y=(2-2a)x+a-1；由2-2a=0，且a-1=0，解得a=1

(2)由(1)得a=1，f′(x)=(x+1)，令g(x)=ex-1-，x∈(0，+∞)，所以g′(x)=ex-1+>0，故g(x)在(0，+∞)上递增，又g(1)=0，x∈(0，1)时，g(x)0，f(x)递增，故f(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增

(3)f′(x)=(x+1)，令h(x)=ex-1-，x∈(0，+∞)，h′(x)=ex-1+，①a≤0时，h(x)>0，此时f′(x)>0，f(x)递增，无最小值，故a≤0不符合题意；②a>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，+∞)递增，取实数b，满足00；当x