压轴题命题区间(六)圆锥曲线问题第一课时简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例]如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A．B．C．D．[解析]由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得解得a2＝2，故a＝．所以双曲线C2的离心率e＝＝．[答案]D[方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，所以≥，所以的最小值为．答案：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例]已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝．又kAB＝＝，所以＝．又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1．[答案]D[方法点拨]本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·． ＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2．又 b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝．即椭圆C的离心率e＝．答案：巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例](2016·全国甲卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．[解]设M(x1，y1)，则由题意知y1>0．(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．因此直线AM的方程为y＝x＋2．将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0．解得y＝0或y＝，所以y1＝．因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．(2)由题意知t>3，k>0，A(－，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0．由x1·(－)＝，得x1＝，故|AM|＝|x1＋|＝．由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝．由2|AM|＝|AN|，得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝时上式不成立，因此t＝．t>3等价于＝<0，即<0．因此得或解得
