第五节直接证明与间接证明、数学归纳法限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1.(2018·广州模拟)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．2.(2018·聊城模拟)在等比数列{an}中，a1＜a2＜a3是数列{an}递增的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.当a1＜a2＜a3时，设公比为q，由a1＜a1q＜a1q2得若a1＞0，则1＜q＜q2，即q＞1，此时，显然数列{an}是递增数列，若a1＜0，则1＞q＞q2，即0＜q＜1，此时，数列{an}也是递增数列，反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1＜a2＜a3.故a1＜a2＜a3是等比数列{an}递增的充要条件．3.(2018·北京西城模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析：选D.因为a＞0，b＞0，c＞0，所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.4.(2018·洛阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0.5.(2018·昆明模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C. a、b、c是不全相等的正数，故①正确；③错误；对任意两个数a、b，a＞b与a＜b及a＝b三者必有其一正确，故②正确．6.(2018·北京模拟)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则()A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2解析：选C.由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.7.(2018·新余模拟)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的大小关系是________．解析：x2＝(a＋b＋2)，y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)＞(a＋b＋2)＝x2，又 x＞0，y＞0，∴y＞x.答案：y＞x8.(2018·烟台三模)给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________(填上所有可能的条件的序号)．解析：若1＜a＜b，则＜＜1＜b，所以loga＜loga＝－1＝logb，故条件①不成立；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜，所以logab＞loga＞loga＝－1＝logb，故条件②成立；若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，所以loga＞0，logab＜0，故条件③不成立．答案：②9.(2019·青岛期末)某同学在一次研究性学习中发现，以下5个不等关系式①－1＞2－；②2－＞－；③－＞－2；④－2＞－；⑤－＞2－.(1)上述五个式子有相同的不等关系，根据其结构特点，请你再写出一个类似的不等式．(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明．解：(1)－2＞－3(答案不唯一)．(2)－＞－.证明：要证原不等式成立，只需证＋＞＋，因为不等式两边都大于0，只需证2a＋3＋2＞2a＋3＋2，只需证＞，只需证a2＋3a＋2＞a2＋3a，只需证2＞0，显然成立，所以原不等式成立．10.(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，只要证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，...
