高考数学一轮复习 4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例课时达标训练 文 湘教版-湘教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2016届高考数学一轮复习4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例课时达标训练文湘教版（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题1．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，则CA在CB方向上的投影为()A．1B．2C.D．3【解析】如图，设D为BC的中点，由OA＋AB＋AC＝0得OA＋2AD＝0，即AO＝2AD，∴A，O，D共线且|AO|＝2|AD|，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴|AC|＝|AB|＝|OA|＝2，|AD|＝1，∴|CD|＝，∴CA在CB方向上的投影为.【答案】C2．已知向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x轴上一点P使AP·BP有最小值，则P点的坐标是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)【解析】设P点坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，AP·BP有最小值1.∴点P坐标为(3，0)，故选C.【答案】C3．(2014·青岛一模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.【解析】由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝＝.所以θ＝.【答案】B4．(2014·昆明调研)在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心【解析】假设BC的中点是O，则AC2－AB2＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.【答案】C5．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝，则对任意的正实数t，的最小值是()A．2B．2C．4D．4【解析】＝c2＋t2a2＋b2＋2ta·c＋c·b＋2a·b＝2＋t2＋＋2t＋≥2＋2＋2＝8.当且仅当t2＝，2t＝，即t＝1时等号成立，∴的最小值为2.【答案】B6．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|AG|的最小值是()A.B.C.D.【解析】设BC的中点为M，则AG＝AM.又M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，∴AG＝AM＝(AB＋AC)，∴|AG|＝＝.又 AB·AC＝－2，∠A＝120°，∴|AB||AC|＝4. |AG|＝≥＝，当且仅当|AB|＝|AC|时取等号，∴|AG|的最小值为.【答案】C二、填空题17．(2014·潍坊二模)在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.【解析】因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝1×3×＝，又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，即AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.【答案】8．如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(AB＋DC)·(AC＋BD)＝________．【解析】设AC交BD于O，则AB＝OB－OA，DC＝OC－OD，∴(AB＋DC)·(AC＋BD)＝(OB－OA＋OC－OD)·(AC＋BD)＝(OC－OA＋OB－OD)·(AC＋BD)＝(AC－BD)·(AC＋BD)＝|AC|2－|BD|2＝5.【答案】59．(2013·九江模拟)如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB，Q为AB上一点，点P在扇形内(含边界)，且OP＝tOA＋(1－t)OB(0≤t≤1)，则OP·OQ的最大值为________．【解析】 OP＝tOA＋(1－t)OB，∴BP＝tBA，又 0≤t≤1，∴P在线段BA上运动． Q为AB上一点，设∠POQ＝θ，∴OP·OQ＝|OP||OQ|cosθ＝2|OP|cosθ≤2|OP|≤2×2＝4，即当P，Q重合且位于A或B处时，OP·OQ取最大值4.【答案】410．在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0)．对于某个正实数k，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得OP＝λ·＋(λ为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，则k的取值范围为________．【解析】设＝OM，＝ON，OM＋ON＝OG，则OP＝λOG.因为P(1，a)，Q(k，ak2)，OM＝(1，0)，ON＝，，OG＝，则直线OG的方程为y＝x，又OP＝λOG，所以P(1，a)在直线OG上，所以a＝，所以a2＝1－.又a>0，k>0，所以1－＞0，所以k＞2.【答案】(2，＋∞)三、解答题11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)·BC·BA＋cCA·CB＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，试求AB·CB的最小值．【解析】(1)因为(2a＋c)BC·BA＋cCA·CB＝0，所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以...