高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 热点探究课4 立体几何中的高考热点问题教师用书 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

热点探究课(四)立体几何中的高考热点问题[命题解读]1.立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算.2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法．热点1线面位置关系与体积计算(答题模板)以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)如图1，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.图1(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．[思路点拨](1)注意到四边形ABCD为菱形，联想到对角线垂直，从而进一步证线面垂直，面与面垂直；(2)根据几何体的体积求得底面菱形的边长，计算侧棱，求出各个侧面的面积．[规范解答](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BE.2分因为BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.4分(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.6分由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACD＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.9分从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为3＋2.12分[答题模板]第一步：由线面垂直的性质，得线线垂直AC⊥BE.第二步：根据线面垂直、面面垂直的判定定理证明平面AEC⊥平面BED.第三步：利用棱锥的体积求出底面菱形的边长．第四步：计算各个侧面三角形的面积，求得四棱锥的侧面积．第五步：检验反思，查看关键点，规范步骤．[温馨提示]1.在第(1)问，易忽视条件BD∩BE＝B，AC平面AEC，造成推理不严谨，导致扣分．2．正确的计算结果是得分的关键，本题在求三棱锥的体积与侧面积时，需要计算的量较1多，防止计算结果错误失分，另外对于每一个得分点的解题步骤一定要写全．阅卷时根据得分点评分，有则得分，无则不得分．[对点训练1]如图2，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图2(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．[解](1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AB平面ABC，所以BB1⊥AB.2分又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.4分(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，6分所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE.8分(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝，10分所以三棱锥EABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.12分热点2平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量，是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．2如图3，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：图3(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.【导学号：66482345】[解](...