aABCQP如何看待平面向量的两种运算?在平时教学中,感觉有不少学生对平面向量的两种运算产生了疑问,如何来看待平面向量的几何运算和坐标运算形式呢?总起来看平面向量有两种表示方法:一种是用有向线段来表示向量,称为几何法;另一种是用数字(即坐标)表示,称为代数法,相应地平面向量的运算也就分为图形上的几何运算(基向量法)和坐标下的代数运算(坐标法),所以向量的解决思路有两种:基向量法和坐标法,下面通过两个例题进一步体会向量的这两套运算方式。例1、已知两个非零向量12,ee�不共线,且12kee�和12eke�共线,求实数k的值.解析:思路1(基向量法):∵12kee�和12eke�共线,∴存在实数,使得1212keeeke�∴121keke�,又∵向量12,ee�不共线∴010kk,解得1k.思路2(坐标法):设向量111222,,,exyexy�,∴121212,keekxxkyy�,121212,ekexkxyky�∵12kee�和12eke�共线,∴121212120kxxykyxkxkyy∴2122110kxyxy,又∵向量12,ee�不共线∴12210xyxy,∴1k例2、如图所示,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大?并求出这个最大值.解析:ABAC�,∴0ABAC�,,,APAQBPAPABCQAQAC�()()BPCQAPABAQAC�APAQAPACABAQABAC�2aAPACABAP�2()aAPABAC�212aPQBC�2221cos.2aPQBCaa�用心爱心专心axyABCQP.0.,)(0,1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴,建立(如图所示)的平面直角坐标系.||||ABcACb�设,(0,0),(,0),(0,),ABcCb则||2,||.PQaBCa�且设点P的坐标为(,)xy则(,)Qxy.(,),(,),BPxcyCQxyb�(,),(2,2).BCcbPQxy�22()()()()BPCQxcxyybxycxby�2222cos.2||||PQBCcxbycxbyaaPQBC��即2coscxbya,∴22cos.BPCQaa�.0cos1,0(),,0.PQBCBCCQ�故当即与方向相同时最大其最大值为点评:本题利用了向量的两套运算方式,解法一主要是应用了向量的线性运算,利用向量的数量积进行变形;解法二应用了坐标法进行运算,同时应用了的数形结合,通过“以形助数,以数解形”从形的直观和数的严谨两个方面思考问题,使数学的规律性与灵活性有机结合在一起.用心爱心专心