大题规范练(十二)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，其中F1，F2为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为.又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为－1.图1(1)求椭圆C的方程；(2)以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|·|PQ|的最大值.【导学号：04024252】解：(1)直线l的倾斜角为，F2(c,0)，直线l的方程y＝x－c，＝，c＝1，T(x0，y0)为椭圆C上任一点，|TF2|2＝(x0－1)2＋y＝(x0－1)2＋(a2－1)＝(x0－a2)2≥(－1)2，－a≤x0≤a，当x0＝a时，a－1＝－1，a＝，b＝，椭圆C的方程＋＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x1＝x2，y1＝－y2，由P(x1，y1)在椭圆上，则＋＝1，而S＝2|x1y1|＝，则|x1|＝，|y1|＝1，知|ON|·|PQ|＝2，当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋m，代入＋＝1可得2x2＋3(kx＋m)2＝6，即(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，Δ>0，即3k2＋2>m2，x1＋x2＝－，x1x2＝，|PQ|＝|x1－x2|＝＝，到直线l的距离d＝，S△POQ＝·d·|PQ|＝|m|＝，化为4m2(3k2＋2－m2)＝(3k2＋2)2，(3k2＋2)2－2·2m2(3k2＋2)＋(2m2)2＝0，9k4＋12k2＋4－12m2k2－8m2＋4m2＝0，得到，(3k2＋2－2m2)2＝0，则3k2＋2＝2m2，满足Δ＞0，所以＝－，＝k＋m＝－＋m＝，设M是ON与PQ的交点，则|OM|2＝2＋2＝＋＝，|PQ|2＝(1＋k2)＝＝2，|OM|2|PQ|2＝≤，当且仅当3－＝2＋，即m＝±时等号成立，综上可知|OM|·|PQ|的最大值为.|ON|·|PQ|＝2|OM|·|PQ|的最大值为5.21．已知函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝f(x)＋2alnx，且g(x)有两个极值点为x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)－g(x2)的最小值.【导学号：04024253】解：(1)f(x)的定义域(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝，令f′(x)＝0得x2－ax＋1＝0，①当－2≤a≤2时，Δ＝a2－4≤0，此时，f′(x)≥0恒成立，所以，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a＜－2时，Δ＝a2－4＞0时，但x2－ax＋1＝0的两根x1，x2均为负数，此时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a>2时，Δ＝a2－4>0，解x2－ax＋1＝0得两根为x1＝，x2＝，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；综上得，当a≤2时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无递减区间；当a＞2时，f(x)的递增区间为，，递减区间为.(2)g(x)＝x－＋alnx，定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋＋＝，令g′(x)＝0得x2＋ax＋1＝0，其两根为x1，x2，且所以x2＝，a＝－，所以a＜0，所以g(x1)－g(x2)＝g(x1)－g＝x1－＋alnx1－＝2＋2alnx1＝2－2lnx1.设h(x)＝2－2lnx，x∈(0，e]，则[g(x1)－g(x2)]min＝h(x)min，因为h′(x)＝2－2＝，当x∈(0，e]时，恒有h′(x)≤0，所以h(x)在(0，e]上单调递减；所以h(x)min＝h(e)＝－，所以(g(x1)－g(x2))min＝－.
