命题角度2：利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题1.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用正弦定理边化角，然后结合同角三角函数基本关系可得，则.(2)利用余弦定理可求得边长，则△ABC的面积为.2.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，边上的中线，求的面积.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）当时，；当时，.【解析】试题分析：（Ⅰ）将代入化简求值即可；（Ⅱ）在中，由余弦定理解得或6，利用面积公式求解即可.试题解析：（Ⅰ）由已知得，所以，因为在中，，所以，则．3.在中，角所对的边分别为，，且.（1）求角的值；（2）若，求的面积.【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理将条件转化为，套用余弦定理即可求解；（2）由正弦定理得，进而讨论是否为0求解即可.试题解析：(Ⅰ）由正弦定理及可得，又由余弦定理，得，所以；（Ⅱ）由正弦定理及可得，从而有，当时，，，当时，有，..综上，的面积是.4.在中，内角的对边分别为，已知，且满足.（1）求边长；（2）若是锐角三角形，且面积，求外接圆的半径.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）由结合正弦定理可得，可得.（2）由，和（1）中所得可求，又由余弦定理，再用正弦定理求得外接圆的半径.试题解析：（1） ，∴，∴，∴，∴，∴.（2） ，∴，∴，又为锐角，∴，∴，∴，∴外接圆的半径.5.在锐角中，.（1）若的面积等于，求；（2）求的面积的取值范围.【答案】（1）（2）试题解析：(1) ，由正弦定理得， ，∴，得.由得，所以由解得.（2）由正弦定理得，∴.又，∴.因为为锐角三角形，∴，∴.6.已知分别是的角所对的边，且．（1）求角；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理得值，再根据三角形内角范围求角；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：，再根据余弦定理得，代人解得，，，由勾股定理得，最后根据直角三角形面积公式得的面积．又由余弦定理，得，②由①②，得，得，得，联立，得，．所以．所以．所以的面积．7.已知的外接圆半径，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.（I）求角B和边长b；（II）求面积的最大值及取得最大值时的a、c的值，并判断此时三角形的形状.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）等边三角形．【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到，根据三角函数的诱导公式可得，从而得出，可得，最后由正弦定理可得的长；（Ⅱ）由且，利用余弦定理算出，再根据基本不等式算出，利用三角形的面积公式算出，从而得到当且仅当时，有最大值，进而得到此时是等边三角形.（Ⅱ）由余弦定理得,，即，当且仅当时取“=”，即求面积的最大值为联立，解得又∴为等边三角形.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式、判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝，AC＝3，BC＝2，P是△ABC内的一点．(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长；(2)若∠BPC＝，设∠PCB＝θ，求△PBC的面积S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）在△PAC中，已知两边一角求第三边，根据余弦定理可得（2）先由正弦定理用θ表示PC，再根据三角形面积公式得S(θ)，利用二倍角公式以及配角公式将S(θ)化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最大值试题解析：解(1)解法一： P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC＝2，∴∠PCB＝，PC＝，又 ∠ACB＝，∴∠ACP＝，在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，∴PA＝.解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有C(0,0)，B(2,0)，A(0,3)， △PBC是等腰直角三角形，∠ACB＝，∴∠ACP＝，∠PBC＝，∴直线PC的方程为y＝x，直线PB的方程为y＝－x＋2，由得...
