七极坐标与参数方程(A)1.(2018·银川三模)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,直线l的参数方程为(t为参数),两曲线相交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若P(-2,-4),求|PM|+|PN|的值.2.(2018·乐山二模)已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为(,),设直线l与圆C交于点P,Q两点.(1)写出圆C的直角坐标方程;(2)求|AP|·|AQ|的值.3.(2018·上饶三模)已知直线l过点P(1,0),且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求圆C的直角坐标方程及直线l的参数方程;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求+的最大值和最小值.4.(2018·洛阳一模)在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若α∈[0,),直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.1.解:(1)根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x,用代入法消去参数求得直线l的普通方程x-y-2=0.(2)直线l的参数方程为(t为参数),代入y2=4x,得到t2-12t+48=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=12,t1·t2=48,所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=12.2.解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ,即(x-1)2+y2=1,表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的圆.(2)因为点A的直角坐标为(,),所以点A在直线(t为参数)上.把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t-=0.由韦达定理可得t1·t2=-<0,根据参数的几何意义可得|AP|·|AQ|=|t1·t2|=.因此|AP|·|AQ|的值为.3.解:(1)由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,即x2+y2=4x,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,直线l过点P(1,0),且倾斜角为α,所以直线l的参数方程为(t为参数).(2)将代入(x-2)2+y2=4,得t2-2tcosα-3=0,Δ=(2cosα)2+12>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则+====,因为cosα∈[-1,1],所以+的最大值为,最小值为.4.解:(1)因为C(,)的直角坐标为(1,1),所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)-1=0.(2)将代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3,即t2+2t(cosα+sinα)-1=0.所以t1+t2=-2(cosα+sinα),t1·t2=-1.所以|AB|=|t1-t2|==2.因为α∈[0,),所以2α∈[0,),所以2≤|AB|<2.即弦长|AB|的取值范围是[2,2).
