课时跟踪检测（三）余弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则C＝________.解析：由a2－c2＋b2＝ab，得cosC＝＝＝，所以C＝30°.答案：30°2．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得，3＝a2＋1－2a×1×cos，即a2＋a－2＝0.解得a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1.答案：13．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.答案：44．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角的大小为________．解析：∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得cosC＝＝＝，∴C＝.答案：5．已知在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，则cosB＝________.解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝＝＝.答案：6．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC的形状是________．解析：在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得cosC＝＝＝－<0，又因为C∈(0，π)，所以，C∈，所以△ABC为钝角三角形．答案：钝角三角形7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：由已知得bcosA＝acosC＋ccosA＝a·＋c·＝b.∴cosA＝＝.答案：8．在△ABC中，下列结论：①若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为120°；③若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形．其中正确的为________(填序号)．解析：①中，a2>b2＋c2可推出cosA＝<0，即A为钝角，所以△ABC为钝角三角形；②中，由a2＝b2＋c2＋bc知，cosA＝＝－，∴A为120°；③中a2＋b2>c2可推出C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．答案：①②9．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求边长a.解：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.又因为a＋c＝4，b＝，所以ac＝3，联立解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.所以a等于1或3.10．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16.∴c＝4，即第三边长为4.层级二应试能力达标1．已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，则角C的大小为________．解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，即＝，∴cosC＝，∴C＝60°.答案：60°2．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c的长为________．解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝.答案：3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cosθ＝＝，θ＝60°，∴180°－60°＝120°，∴最大角与最小角之和为120°.答案：120°4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为________．解析：由余弦定理，可得cosA＝＝＝，所以sinA＝.则AC边上的高h＝ABsinA＝3×＝.答案：5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．解析：依题意得两式相减得ab＝.答案：6．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析：由3sinA＝5sinB可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，可得cosC＝＝＝－，故C＝.答案：7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c＝2，acosB－bcosA＝.(1)求bcosA的值；(2)若a＝4，求△ABC的面积．解：(1)∵acosB－bcosA＝，根据余弦定理得，a·－b·＝，∴2a2－2b2＝7c，又∵c＝2，∴a2－b2＝7，∴bcosA＝＝－.(2)由acosB－bcosA＝及bcosA＝－，得acosB＝.又∵a＝4，∴cosB＝，∴sinB＝＝，∴S△ABC＝acsinB＝.8．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求边AB的长；(2)求sin的值．解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，得＝，即AB＝sinC·＝2BC＝2.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝＝.于是sinA＝＝.从而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝cos2A－sin2A＝.故sin＝sin2Acos－cos2Asin＝.
