大题规范练(八)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且|PM|＝|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【导学号：07804240】[解](1)由题意得解得，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)存在这样的直线l.∵y＝kx＋m，∴M(0，m)，N，∵|PM|＝|MN|，∴P，则Q，∴直线QM的方程为y＝－3kx＋m.设A(x1，y1)，由，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，∴x1＋＝－，∴x1＝，设B(x2，y2)，由，得(3＋36k2)x2－24kmx＋4(m2－3)＝0.∴x2＋＝，∴x2＝－，∵点N平分线段A1B1，∴x1＋x2＝－，∴－－＝－，∴k＝±，∴P(±2m,2m)，∴＋＝1，解得m＝±，∵|m|＝＜b＝，∴直线l的方程为y＝±x±.21．已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)当a＝0时，求证：f(x)≥0；(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若x＞0，证明(ex－1)ln(x＋1)＞x2.[解](1)当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0，∴f(x)≥0.(2)f′(x)＝ex－1－2ax，令h(x)＝ex－1－2ax，则h′(x)＝ex－2a.①当2a≤1时，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，h(x)单调递增，h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)≥f(0)＝0，∴当a≤时满足条件．②当2a＞1时，令h′(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h′(x)＜0，h(x)单调递减，∴当x∈(0，ln2a)时，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜f′(0)＝0，∴f(x)在区间(0，ln2a)上为减函数，∴f(x)＜f(0)＝0，不合题意．综上，实数a的取值范围为.(3)证明：由(2)得，当a＝，x＞0时，ex＞1＋x＋，即ex－1＞x＋，欲证不等式(ex－1)ln(x＋1)＞x2，只需证ln(x＋1)＞.设F(x)＝ln(x＋1)－，则F′(x)＝－＝.∵当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，且F(0)＝0，∴F(x)＞0恒成立．∴原不等式得证．
