高考数学复习点拨 例谈回归分析的应用VIP免费

例谈回归分析的应用在解许多实际应用问题时，运用回归分析的基本思想，通过构建回归模型去刻画解释变量与预报变量的关系，并利用模型，对解释变量的某个值去预测相应预报变量的某个值，从而使问题得到解决．建立回归模型解实际问题的步骤是：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；（3）由经验确定回归方程的类型，即拟合直线或拟合曲线；（4）按一定规则估计回归方程中的参数，从而求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（5）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策提供依据．下面举例说明．例1某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价元与日销售量台之间有如下关系：3540455056412811（1）与是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程；（2）设经营此商品的日销售利润为元，根据（1）写出关于的函数关系式并预测当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．解析：（1）散点图如右图所示，并从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为，则由公式求得，．∴；（2）依题意有，∴当时，有最大值约为．即预测销售单价为元时，才能获得最大日销售利润．点评：本题主要考查构建线性回归模型在解决实际问题中的应用．例2某国从1790年至1950年人口数据资料：时间17901800181018201830184018501860187018801890190019101920193019401950人口（百万）3.9295.3087.249.36812.86617.06923.18231.43338.55850.15662.94875.99591.972105.711122.775131.669150.697试利用上述资料预测该国1980年的人口数（假设该国政治、社会、经济环境稳定，且人口数相对于时间是连续的）．分析：以轴代表年度，轴代表人口数，建立直角坐标系，画出散点图（略），并观察散点图可以发现，从1890年以后散点近似分布在一条直线上；而从散点图的整体趋势来看，也可以认为散点近似分布在一条抛物线上，故可采用线性回归模型拟合，或采用二次函数模型拟合．用心爱心专心解法一：由散点图可以看出，1890年以后散点大致分布在一条直线上，设线性回归直线方程为，由公式求得，即．∴当时，，即1980年该国人口预测为194.859百万人．解法二：从散点的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线为对称轴，以点（1790，3.929）为顶点的抛物线上，再任意选一点（1890，62.948）确定抛物线方程为．∴当时，，即该国人口预测为216.919百万人．点评：本题主要考查重视对信息、图表的分析，提取，加工和处理能力．两种解法，由于考虑问题和观察角度不同，所得到结论和答案也不相同，线性回归模型是在依据部分已知数据的基础上作出的，因此精确度比较差；而二次函数模型是根据全部已知数据的分布趋势拟合的，因而有较高的精确度．当然，同学们可以进一步利用回归分析的方法，通过利用相关指数来比较两个模型的拟合效果．用心爱心专心