第4讲直接证明与间接证明[基础题组练]1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0解析：选C.0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.3．(2020·江西抚州模拟)设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0(a>0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A．②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．②⑤解析：选D.a＝b＝1时，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一个大于1，①不符合；当a＝b＝0时，a＋b>－2，推不出a，b中至少有一个大于1，③不符合；当a＝b＝－2时，ab>1，推不出a，b中至少有一个大于1，④不符合；对于②，假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，所以②能推出a，b中至少有一个大于1；对于⑤，假设a，b都不大于1，则logab≥loga1＝0，与logab<0矛盾，故⑤能推出a，b中至少有一个大于1.综上，选D.4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：选A.因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，函数f(x)是减函数，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，函数f(x)递减，可知f(x)是R上的减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b>0，则①<；②ac2>bc2；③a2>b2；④>，其中正确的序号是________．1解析：对于①，因为a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故①正确；当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．答案：①③④7．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N+，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，所以cn随n的增大而减小，所以cn＋10，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．[综合题组练]1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是()A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由·>1知与同号，若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，若<0且<0，则－>0，－>0，＋≥2>2，即＋<－2，这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．2．在等比数列{a...
