高考数学复习点拨 三角函数模型的实际应用VIP免费

三角函数模型的实际应用利用三角函数的有关理论和知识，可以解决现实生活中的许多问题，而解决问题的关键是建立合理的数学模型．．下面就构建三角函数模型解决实际应用问题例析如下：例1受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时仕进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间240(tt，单位为小时）的函数记作)(tfy，下面是该港口在某季节每天水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.910.17.010.0（1）根据以上数据,是选用一个函数模型来近似描述水深与时间得函数关系。（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为m5或m5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为m56，若该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？分析：通过表格找到Ａ、、k后利用三角函数图象来解决第（2）个问题．解（1）由数据知函数)(tfy的周期Ｔ＝12,Ａ＝３，10k，∴106sin3ty．（2）由题意，该船进出港时水深应不小于511565米，由511106sin3t有216sint，∴ktk265626，即)(125121Nkktk．在同一天内取0k或１有51t，或1713t，又水深最浅为m7，大于m56．∴该船最早能在凌晨１时进港，最晚下午17时出港,在港口最多可停留16小时.点评:本题通过观察数据建立三角函数模型,求函数自变量取值范围而获得解决,由于潮汐规律近似于某种三角函数的图象,而三角函数知识十分丰富,因此题目显得新颖.例2某一地区，有四个农庄恰好坐落在边长为２千米的正方形的顶点上，为发展经济，政府决定建立一个使得任意两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成，要求各农庄到中心道的距离相等．问中心道长为何值时，道路网总长度最短？解析：由图形的对称性，引入角参数，可将应用问题转化为求关于正弦或余弦的最值．用心爱心专心ABＤＦＧＥ如图，设)2,0(FAE，则道路网总长度kGAFS22sin)cot2(22cot22sin44，于是问题化为求))2,0((sincos2k的最小值．将sincos2k变形，得2)1arctansin(12kk．由正弦函数的有界性得1122k，解得3k或3k．又)2,0(，所以3k．当且仅当21arctank时，3k，此时，)2,0(3．故当3，即中心道长为)331(2千米时，道路网总长度最短．评注：在实际应用问题中，常常引入辅助角参数沟通变量之间的联系，这时，常可利用辅助角的正、余弦的有界性求出最小值。构造辅助角模型，利用正、余弦函数的有界性求出的最值，一定要验证取最值时的角是否存在且在给定的区间内，以防上当受骗．用心爱心专心