公理4的应用策略平行问题是立体几何的主要问题之一，而公理4体现了直线平行的传递性，且这种平行关系不受直线条数的限制，它是证明或判定两直线平行的主要依据．应用公理4证明两条直线平行主要是要找出第三条直线与前两条直线平行．下面就公理4的应用进行举例说明．一、与平行四边形及三角形的中位线联用例1如图1，在长方体1111ABCDABCD中，EF，分别是1CDCC，的中点，求证：1EFAB∥．证明：连结1DC，在长方体1111ABCDABCD中，有11ADBC∥．四边形11ABCD是平行四边形，11ABDC∥．在1CDC△中，EF，分别是1CDCC，的中点，1EFDC∥．由公理4知，1EFAB∥．点评：判断两条直线平行的基本方法是分别寻找与这两条直线平行的第三条直线，再利用平行线的传递性就能证得这两条直线平行．二、与平行线分线段成比例的性质联用例2如图2，在空间四边形ABCD中，MNPQ，，，分别是四边形边上的点，且满足AMCNAQCPkMBNBQDPD．求证：MNPQ，，，四点共面且四边形MNPQ为平行四边形．证明：AMAQkMBQD，MQBD∥，且1AMkAMMBk．1MQAMkBDABk，即1kMQBDk．又CNCPkNBPD，PNBD∥，且1CNkCNNBk．用心爱心专心1NPCNkBDCBk，即1kNPBDk．MQNP∥，且MQNP．MNPQ，，，共面且四边形MNPQ为平行四边形．点评：要证明MNPQ，，，四点共面，只需证明直线MQ与直线NP平行即可，这也是平行四边形MNPQ所必需的，因此，问题就转化为利用直线的传递性，寻找第三条直线分别与所求两条直线平行．三、与反证法联用例3在平面几何中，经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行，这个结论在空间中是否成立？解：在空间中这个结论也成立．下面用反证法证明：假设结论在空间中不成立，那么过直线a外一点P有两条直线bc，与a平行，即有abac，∥∥．由平行公理知，bc∥，这与bc，有公共点矛盾．所以，该结论在空间仍然成立．点评：一般情况下，要把平面几何中的结论推广到立体几何中，需要经过证明才能使用，千万不能盲目套用．用心爱心专心
