高考数学复习点拨 对数函数中的数学思想VIP免费

yx-1O)2(log2xyxy图1对数函数中的数学思想对数函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁巧妙的解决．一、数形结合思想例1方程xx)2(log2的实数解有（）Ａ．０个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个解：令)2(log21xy，xy2．在同一坐标系中，分别画出两个函数图象．如图２所示，两个函数图象只有一个交点，所以方程有一个解．故选Ｂ．评注：此方程属于超越方程．没有其直接解法，利用数形结合可从图象上观察到两函数图象的交点个数，从而推出方程解的个数．关键是较准确做出两函数图象．二、方程思想例２设1lg(1)7a，1lg(1)49b，试用,ab表示lg2,lg7．分析：直接用,ab表示lg2,lg7显然困难，观察题设特点，可通过变形将lg2,lg7看作未知数，构造关于lg2,lg7的方程组，解方程组求解．解：1lg(1)7a＝32lg3lg2lg77，1lg(1)49b＝225010lglg2lg22lg74927，∴3lg2lg7,2lg22lg7.ab，解之得11lg2(22),lg7(36)77abab．评注：通过分析数学问题中的已知与未知之间的等量关系，从而建立方程（组）或者构造方程，通过解方程（组）或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程与函数密切相关，对于函数()yfx，当y＝０时，就转化为方程()fx＝０．三、分类讨论思想用心爱心专心例３求函数log()(0xayaaa，且a1)的定义域与值域．解：∵a－xa＞０，∴a＞xa．当a＞１时，x＜１，则()fx的定义域为(,1)；当０＜a＜１时，x＞１，则()fx的定义域为(1,)．∵xa＞０，∴０＜a－xa＜a．当a＞１时，log()log1xaaaaa，函数()fx的值域为(,1)；当０＜a＜１时，log()log1xaaaaa，函数()fx的值域为(1,)．综上所述，当a＞１时，函数()fx的定义域与值域均为(,1)；当０＜a＜１时，函数()fx的定义域与值域均为(1,)．评注：求解指数函数、对数函数问题时，要养成关注底数的好习惯，若底数含有字母，就需要分两种情况进行讨论，这一点也是高考的关注点．四、转化思想例４若a＝lg2lg3lg5,,235bc，则（）Ａ．abcＢ．cbaＣ．cabＤ．bac分析：直接比较无法判断，可将其根据对数的性质转化为相同底数的对数，根据其单调性求解．解：∵a＝35lg2lg3lg5lg2,lg3,lg5235bc，又∵6632893，10105232255，∴53523．又∵函数y＝lgx在（０，）是增函数，∴53lg5lg2lg3，即cab，故选Ｃ．评注：有关对数、指数大小比较问题，常常将问题转化，有时需转化为同底数的指数式、对数式，有时根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式后再运算，这正是数学中转化思想的具体体现．转化思想是中学重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用的目的．五、整体换元思想用心爱心专心例５设对所有实数x，不等式2222224(1)2(1)log2loglog014aaaxxaaa，求实数a的取值范围．分析：观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，是复杂的不等式问题变为熟知的一元二次不等式问题．解：设22log1aua，则原不等式化为2(3)220uxuxu①∵xR时，不等式恒成立，但当3u时，①式变为660x，即1x与条件xR不符，∴3u．当3u时，①式对xR恒成立，则23044(3)(2)0uuuu解得306uuu或，∴0u，即22log01aa，∴2011aa解得0x1，故a的取值范围是（０，１）．评注：本题利用整体换元的思想方法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新．用心爱心专心