高考数学一轮复习 第五章 数列 课时作业31 数列求和 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业31数列求和[基础达标]1．[2019·湖北省四校联考]在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．(1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解析：(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋，∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.(2)由(1)得＝＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.2．[2019·福建福州六校联考]已知数列{an}的前n项和Sn＝，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝a1＋1，b2－a2＝2.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求满足Tn＋an>300的最小的n值．解析：(1)a1＝S1＝1，n>1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，又n＝1时，a1＝n成立，∴an＝n(n∈N*)，则由题意可知b1＝2，b2＝4，∴{bn}的公比q＝＝2，∴bn＝2n(n∈N*)．(2)Tn＝＝2(2n－1)，Tn＋an＝2(2n－1)＋n，∴Tn＋an随n增大而增大，又T7＋a7＝2×127＋7＝261<300，T8＋a8＝2×255＋8＝518>300，∴所求最小的n值为8.3．[2019·石家庄高中质量检测]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－.(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋①，Tn＝＋＋＋…＋②，①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，∴Sn＝n(n＋1)－4＋.4．[2019·广州市综合测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.(2)当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2.当n≥2时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，①得＋＋…＋＝5－(4n＋1)n－1.②①－②，得＝(4n－3)n.因为an＝4n－3，所以bn＝＝2n(当n＝1时也符合)，所以＝＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn＝＝2n＋1－2.5．[2019·郑州一中高三入学测试]在等差数列{an}中，已知a3＝5，且a1，a2，a5为递增的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的通项公式(k∈N*)，求数列{bn}的前n1项和Sn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，易知d≠0，由题意得，(a3－2d)(a3＋2d)＝(a3－d)2，即d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.(2)当n＝2k，k∈N*时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k＝a1＋a2＋…＋ak＋(20＋21＋…＋2k－1)＝＋＝k2＋2k－1＝＋22n－1；当n＝2k－1，k∈N*时，n＋1＝2k，则Sn＝Sn＋1－bn＋1＝＋212n－1－212n－1＝＋212n.综上，(k∈N*)．6．[2019·安徽省高中联合质量检测]已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a5＝b3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记Sn＝＋＋…＋，是否存在m∈N*，使得Sm≥3成立，若存在，求出m，若不存在，请说明理由．解析：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，数列{bn}的公比为q，则由题意知∴d＝0或d＝2，∵d≠0，∴d＝2，q＝3，∴an＝2n－1，bn＝3n－1.(2)由(1)可知，Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得，Sn＝1＋＋＋…＋－＝1＋×－＝2－<2，∴Sn<3.故不存在m∈N*，使得Sm≥3成立．[能力挑战]7．[2019·山东淄博模拟]已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝19，S10＝100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝an＋2成立．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)n，求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1)设{an}的公差为d，则a10＝a1＋9d＝19，S10＝10a1＋×d＝100.解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.所以b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝2n＋1，①当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，b1·b2·b3·…·bn－1＝2n－1.②①②两式相除得bn＝(n≥2)．因为当n＝1时，b1＝3适合上式，所以bn＝(n∈N*)．(2)由已知cn＝(－1)n，得cn＝(－1)n＝(－1)n，则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－＋－＋…＋(－1)n，当n为偶数时，Tn＝－＋－＋…＋(－1)n·＝＋＋＋…＋＝－1＋＝－；当n为奇数时，Tn＝－＋－＋…＋(－1)n·＝＋＋＋…＋＝－1－＝－.综上，Tn＝23