12函数的零点——关键抓住破题题眼1．f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为________．答案5解析 2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．答案2解析(数形结合法) a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．3．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0
0时，由f(x)＝0，即ln(x2－x＋1)＝0，得x2－x＋1＝1，解得x＝0(舍去)或x＝1.当x≤0时，f(x)＝ex－x－2，f′(x)＝ex－1≤0，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递减．而f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(－2)＝e－2－(－2)－2＝e－2>0，故函数f(x)在(－2,0)上有且只有一个零点．综上，函数f(x)有两个零点．5．(2013·天津改编)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．答案2解析当01时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得log2x＝x，由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，综上有两个零点．6．已知函数f(x)＝则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是________．①当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点；②当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点；③无论k为何值，均有2个零点；④无论k为何值，均有4个零点．答案②解析当k>0时，f(f(x))＝－1，综合图(1)分析，则f(x)＝t1∈(－∞，－)或f(x)＝t2∈(0,1)．对于f(x)＝t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)＝t2，存在两个零点x3，x4.此时共计存在4个零点．当k<0时，f(f(x))＝－1，结合图(2)分析，则f(x)＝t∈(0,1)，此时仅有1个零点x0.故②正确．7．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当20，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n＝2.8．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．答案2解析方程变形为3－x2＝2－x＝()x，令y1＝3－x2，y2＝()x.如图所示，由图象可知有2个交点．9．(2014·连云港模拟)已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为________．答案解析若a＝0，则f(x)＝2x－3，f(x)＝0⇒x＝∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.下面就a≠0分两种情况讨论：(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得≤a≤.(2)当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是解得a>.综上，实数a的取值范围为.10．(2014·天津)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．答案10)．当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a<2.当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2＋(5－a)x＋4＝0.由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，则当1
