高考数学 考点24 简单的线性规划试题解读与变式-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点24简单的线性规划【考纲要求】1．掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)．2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．【命题规律】简单的线性规划是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，有时会出现解答题中于其他知识结合考查.【典型高考试题变式】（一）求目标函数的最值例1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【变式1】【改变结论】设x，y满足约束条件则z=x+y的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最小值，故，故选B．【变式2】【改变条件】变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是()A．B．4C．2D．6【答案】B（二）非线性目标函数的最值例2.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（）A.4B.9C.10D.12【解析】画出可行域如图所示，点到原点距离最大，所以，选C.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.【变式1】【改变结论】已知函数，满足，则的最小值为.【答案】【变式2】【改变条件】变量x、y满足则z＝x2＋y2的取值范围为．【答案】【解析】由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．由解得.由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.所以2≤z≤29.（四）线性规划的实际运用例3.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么①目标函数.二元一次不等式组①等价于②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时,取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.【变式1】小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是.【答案】37【变式2】某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示：甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94360电(kw·h)45200劳力(个)310300利润(万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？【解析】设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z＝6x＋12y.如图，作出可行域，作直线l：6x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝6x＋12y取最大值.解方程组得M(20，24).所以生产甲种产品20t，...