加强练(七)数列、数学归纳法一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列为等差数列，则a9＝()A.B.C.D.－解析因为数列为等差数列，a3＝2，a7＝1，所以数列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝，故选C.答案C2.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A.2B.1C.D.解析由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.答案C3.(2020·绍兴适应性考试)已知数列{an}是公比为q的等比数列，则“a5a6＜a”是“0＜q＜1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析由a5a6＜a得aq9＜aq6，因为a1≠0，q≠0，所以q3＜1，解得q＜0或0＜q＜1，所以“a5a6＜a”是“0＜q＜1”的必要不充分条件，故选B.答案B4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，如果当n＝m时，Sn最小，那么m的值为()A.10B.9C.5D.4解析设等差数列{an}的公差为d，则S11＝11a1＋55d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，由an＝7n－40<0得n≤5，即该数列的前5项是负数，从第6项开始是正数，则前5项的和最小，即m＝5.答案C5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是()A.若a5>0，则a2017<0B.若a6>0，则a2018<0C.若a5>0，则S2017>0D.若a6>0，则S2018>0解析设等比数列的公比为q.对于A，a5＝a1q4>0，则a2017＝a1q2016>0，故A错误；对于B，a6＝a1q5>0，则a2018＝a1q2017>0，故B错误；对于C，a5＝a1q4>0，则a1>0.当q＝1时，S2017＝2017a1>0；当q≠1时，S2017＝>0，故C正确；对于D，a6＝a1q5>0，当a1<0，q＝－1时，S2018＝0，故D错误，故选C.答案C6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝()A.B.C.D.解析因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等差数列，而＝，所以S8＝3S4，则(S8－S4)－S4＝S4，则得S12－S8＝3S4，S16－S12＝4S4，故S16＝10S4，所以＝.答案A7.若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a＋b的值等于()A.4B.5C.6D.7解析a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，可得a＋b＝p，ab＝q，即有a>0，b>0.a，b，－2这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后可成等比数列，即a，－2，b或b，－2，a成等比数列，∴ab＝4；又a，b，－2或b，a，－2或－2，a，b或－2，b，a成等差数列，可得2b＝a－2或2a＝b－2，解得或∴a＋b＝5.答案B8.(2020·金华一中月考)如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数，分别是1，3，5，…，2n－1；(2)从第二行起，各行中的第一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行.问：当n＝2000时，第32行的第17个数是()A.236B.236＋2012C.237D.232解析不妨设每一行的第一个数分别为a1，a2，…，an，则有a1＝1，a2＝4，a3＝12.由条件可得a2＝2a1＋2，a3＝2a2＋22，所以可知an＋1＝2an＋2n，即＝＋1，所以是以1为首项，公差为1的等差数列.所以第32行的第一个数为＝32＝25，所以a32＝236.又每一行都是等差数列，公差分别为2，22，23，…，所以可知第32行的公差为232，所以第32行的第17个数为236＋16×232＝236＋236＝237，故选C.答案C9.(一题多解)(2020·福州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a8＝()A.B.C.D.解析法一因为an＋1＝，a1＝1，所以an＞0，所以＝，所以＝＝＋4·＋2，所以＋2＝，令bn＝＋2，则bn＋1＝b，又因为bn＞0，且bn≠1，所以lnbn＋1＝2lnbn，又lnb1＝ln＝ln3，所以数列{lnbn}是首项为ln3，公比为2的等比数列.所以lnbn＝2n－1ln3＝ln32n－1，所以bn＝32n－1，即＋2＝32n－1，从而an＝，将n＝8代入，选A.法二因为an＋1＝，a1＝1，所以an＞0，所以＝，所以＝＝＋4·＋2，所以＋2＝，令bn＝＋2，则bn＋1＝b，因为b1＝3，所以b2＝32，所以b3＝(32)2＝34，所以b4＝(34)2＝38，…，所以b8＝3128＝964.又b8＝＋2，所以a8＝，故选A.答案A10.(2019·浙江名师预测卷...
