第十节抛物线(二)1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(C)A.B．1C．2D．4解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－.圆x2＋y2－6x－7＝0，可化为(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3，0)，半径为4.又抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－7＝0相切，∴3＋＝4，解得p＝2.故选C.2．已知抛物线C：y＝x2，则过抛物线的焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为(C)A.B.C．5D．4解析：抛物线C：x2＝4y，则焦点F(0，1)．直线l为y＝x＋1.由得x2－2x－4＝0.由韦达定理，得x1＋x2＝2，x1x2＝－4.由弦长公式可得，截得的线段长为·＝×＝5.故选C.3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y2＝2px(p>0)上一点P到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为2或18．解析：设P(x0，y0)，则所以36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.4．已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x．解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.1高考方向1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题的热点.2.常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇命题.3.题型主要以解答题的形式出现，属于中高档题，有时也会以选择题、填空题的形式出现，属中低档题.1．(2013·安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，＋∞)．解析：以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由已知解得a≥1.2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．解析：(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，①y0＝－＝－.②由①②得p＝2.(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③y＝.④切线MA、MB的方程为2y＝(x－x1)＋.⑤y＝(x－x2)＋.⑥由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦由③④⑦得x2＝y，x≠0.当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.1．设抛物线y2＝4x的准线为l，F为抛物线的焦点．P为抛物线上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若△PQF的面积与△POF的面积之比为3∶1，则点P坐标是(2，－2)或(2，2)．2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A(－4，0)的动直线l与拋物线G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，AC＝4AB.(1)求拋物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.联立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4，由已知AC＝4AB，所以y2＝4y1，由韦达定理及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，所以拋物线G的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，由Δ>0得k<－4或k>0，所以x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，所以b＝2(k＋1)2，所以b>2.即b的取值范围为(2，＋∞)．课时作业1．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(C)A.B.C.D.解析：取双曲线的一条渐近线为y＝x，联立将①式代入②式并整理，得ax2－bx＋a＝0.由题意可得，Δ＝b2－4a2＝0，∴＝4，则双曲线的离心率e＝＝.故选C.2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(B)A．4B．8C．8D．73解析：如图，由kAF＝－知∠AFM＝60°.又AP∥MF，...
