高考数学 考点20 圆锥曲线的综合问题练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点20圆锥曲线的综合问题1.（2010·上海高考文科·Ｔ１3）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e，2(2,1)e分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线上的点P，若21ebeaOP（a，bR），则a，b满足的一个等式是．【命题立意】本题考查双曲线性质与向量的有关知识，属中档题．【思路点拨】先设出双曲线的方程，再由渐近线的方向向量及焦点坐标求出实半轴长和虚半轴长，得到双曲线方程.由向量相等，建立P点横纵坐标与a,b的关系，将P点坐标代入双曲线方程就能找到a，b满足的等式．【规范解答】可设双曲线方程为)0,0(12222nmnymx，因为1(2,1)e，2(2,1)e分别是两条渐近线的方向向量，所以21mn①.又由已知可得双曲线中c=5，所以522nm②.由①②可得12nm，，所以双曲线方程为1422yx.设P（x，y），则)1,2()1,2(),(bayx，所以代入双曲线方程,得41ab.【答案】41ab2.（2010·上海高考理科·Ｔ１3）如图所示，直线x=2与双曲线：1422yx的渐近线交于1E,2E两点，记1122,OEeOEe��，任取双曲线上的点P，若12OPaebe(a,bR)�∈，则a，b满足的一个等式是.【命题立意】本题考查双曲线的性质与向量的有关知识．【思路点拨】先求出双曲线的渐近线方程，再确定1E,2E的坐标，由向量相等，建立P点横纵坐标与a,b的关系，将P点坐标代入双曲线方程就能找到a，b满足的等式．【规范解答】易得)1,2(),1,2(21EE，所以)1,2(),1,2(2211OEeOEe.1设),(yxP,则),(yxOP，所以)1,2()1,2(),(bayx，即baybax22，，代入双曲线方程,得41ab.【答案】41ab【方法技巧】求双曲线22221xyab的渐近线时，可令22220xyab即可解出渐近线方程．3.（2010·江西高考文科·Ｔ２１）已知抛物线1C：22xbyb经过椭圆2C：22221(0)xyabab的两个焦点.(1)求椭圆2C的离心率.(2)设(3,)Qb，又,MN为1C与2C不在y轴上的两个交点，若QMN的重心在抛物线1C上，求1C和2C的方程.【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查三角形的重心性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点M，N的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.【规范解答】（1）因为抛物线1C经过椭圆2C的两个焦点12(,0),(,0)FcFc，所以220cbb，即22cb.由22222abcc得椭圆2C的离心率22e.（2）由（1）可知222ab，椭圆2C的方程为222212xybb.与抛物线1C的方程22xbyb联立消去x得：2220ybyb.解得：2by或yb（舍去）.所以62xb，即66(,),(,)2222bbMbNb，所以QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在1C上，所以2210bb，得1b.所以22a.2NxQMOy所以抛物线1C的方程为21xy，椭圆2C的方程为2212xy.4.（2010·江西高考理科·Ｔ２１）设椭圆22122:1(0)xyCabab，抛物线222:Cxbyb．（1）若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率.（2）设5(0,),(33,)4AbQb，又M，N为1C与2C不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为3(0,)4Bb，且QMN的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程．【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，体现了函数与方程思想及数形结合思想.【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点M，N的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.【规范解答】（1）因为抛物线2C经过椭圆1C的两个焦点1(,0)Fc，2(,0)Fc，可得22cb.由22222abcc，有2212ca，所以椭圆1C的离心率22e．（2）由题设可知M，N关于y轴对称，设11111(,),(,),(0)MxyNxyxx1＞0，则由AMN的垂心为B，有0BMAN�，所以21113()()04xybyb①.由于点11(,)Nxy在2C上，故有2211xbyb②.由①②得,41by或by1（舍去），所以,251bx故),4,25(),4,25(bbNbbM所以QMN的重心为b34（，）.因重心在2C上，可...