专题41圆锥曲线中的对称问题【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围.这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点.因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1.【2018湖南省邵阳市洞口县第一中学模拟】在中，顶点所对三边分别是已知,且成等差数列.(I)求顶点的轨迹方程；(II)设顶点A的轨迹与直线相交于不同的两点，如果存在过点的直线,使得点关于对称，求实数的取值范围【点晴】第（II）题的关键是理解求实数的取值范围，其实是要解关于的不等式，所以要通过已知条件找到该不等式.而通过直线与椭圆有两个交点可得判别式大于，即可得包含的不等式，而通过该不等式结合对称的条件得到的与的关系式即可求出的取值范围.例2、已知椭圆的离心率是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．【解析】过点,,椭圆的方程为当时，，则解得综上所述，的取值范围是【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．【解析】设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则 点在直线上，∴∴，代入，得，即，解得。【变式演练2】求证：抛物线=－1上不存在关于直线=对称的两点。证明如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且≠，、∈R，则：两式相减得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判别式△=4－8<0。所以R这与题设矛盾。∴PQ两点不存在。方法二点差法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步设出两点和中点坐标（x，y）；第二步用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；第三步联立直线方程，求出交点，即中点；第四步由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．【变式演练3】如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．解析如下（I）解：设抛物线的标准方程为，则，从而．因此焦点的坐标为，又准线方程的一般式为．从而所求准线的方程为．解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．将此式代入得，故．记直线与的交点为，则，，故直线的方程为，令，得点的横坐标，故．从而为定值．【高考再现】1.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.2.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直...
