课时跟踪训练(三十)数列的概念与简单表示方法[基础巩固]一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.B．cosC.πD．cosπ[解析]令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．[答案]D2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2017＝()A．1B．0C．2017D．－2017[解析] a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2017＝a1＝1.[答案]A3．设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝2(an－1)，则an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.[答案]C4．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2017＝()A.B.C.D.[解析]由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2017＝××…×＝.[答案]D5．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A．103B.C.D．108[解析]根据题意并结合二次函数的性质可得an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋3＋，∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.故选D.[答案]D6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则a10＝()A．64B．32C．16D．8[解析]由an＋1·an＝2n，所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故＝2，又a1＝1，可得a2＝2，故a10＝25＝32.[答案]B二、填空题17．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．[解析]令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝(舍去)．[答案]108．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a－1(n>1)，则a2017＝________，|an＋an＋1|＝________(n>1)．[解析]由a1＝1，an＝a－1(n>1)，得a2＝a－1＝12－1＝0，a3＝a－1＝02－1＝－1，a4＝a－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n>1，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，∴a2017＝－1，|an＋an＋1|＝1.[答案]－119．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.[解析]依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.[答案]28[能力提升]10．(2017·华东师范大学等四校联考)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N*，an＋1＝an(1－an)，则a1413－a1314＝()A．－B.C．－D.[解析]根据递推公式计算得a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，可以归纳通项公式为：当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1413－a1314＝.故选D.[答案]D11．(2018·舟山一模)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是()A．40B．45C．50D．55[解析]设n条直线的交点个数为an(n≥2)，则累加得a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.[答案]B12．(2017·湖北襄阳优质高中联考)若a1＝1，对任意的n∈N*，都有an>0，且na－(2n－1)an＋1an－2a＝0.设M(x)表示整数x的个位数字，则M(a2017)＝________.[解析]由已知得(nan＋1＋an)(an＋1－2an)＝0， an>0，∴an＋1－2an＝0，则＝2， a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝1×2n－1＝2n－1.∴a2＝2，a3＝4，a4＝28，a5＝16，a6＝32，a7＝64，a8＝128，…，∴n≥2时，M(an)依次构成以4为周期的数列．∴M(a2017)＝M(a5)＝6，故答案为6.[答案]613．(2017·浙江温州四校联考改编)某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n＋1(n∈N*)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n＝1时，排出的音符串是，；n＝2时，排出的音符串是，，，；…，记这种含n＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为an.易知a1＝0，a2＝2.则a4＝________，an＋an＋1＝________.[解析]由题意...
