课时跟踪检测（十八）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A卷——大题保分练1．(2018·长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过E.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝λF1B，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)由解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，联立方程整理得y2－y－9＝0，Δ＝＋144>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又AF1＝λF1B，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝(y1＋y2)2，则＝，λ＋－2＝，因为2≤λ<3，所以≤λ＋－2<，即≤<，且k>0，解得0b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．解：(1)由已知条件，得b＝，且×＝3，∴a＋c＝3.又a2－c2＝3，∴a＝2，c＝1，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程消去x得，(3m2＋4)y2－6my－9＝0. 直线过椭圆内的点，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交．∴y1＋y2＝，y1y2＝－.∴S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝＝12＝4＝4，令t＝m2＋1≥1，设f(t)＝t＋，易知t∈时，函数f(t)单调递减，t∈时，函数f(t)单调递增，∴当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，f(t)取得最小值，f(t)min＝，此时S△F2AB取得最大值3.3．(2018·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．解：(1)x2＋y2＋2x－2y＋1＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，则圆心C的坐标为(－1,1)． F，∴|CF|＝＝，解得p＝6.∴抛物线E的方程为y2＝12x.(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x＝my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－12my－12t＝0，Δ＝(－12m)2＋48t＝48(3m2＋t)>0，∴y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t，由OA⊥OB，得OA·OB＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，整理可得t2－12t＝0， t≠0，∴t＝12，满足Δ>0，符合题意．∴直线l的方程为x＝my＋12，故直线l过定点P(12,0)．∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，此时kCP＝＝－，得m＝，此时直线l的方程为x＝y＋12，即13x－y－156＝0.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0b>0且a，b2均为整数)过点，且右顶点到直线l：x＝4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆Ω交于点A，B，l2与椭圆Ω交于点C，D.求四边形ACBD面积的最小值．解：(1)由题意，得＋＝1，且|4－a|＝2，若a＝2，则b2＝3；若a＝6，则b2＝(舍去)，所以椭圆Ω的方程为＋＝1.(2)由(1)知，点F的坐标为(1,0)．当l1，l2中有一条直线的斜率...
