高考数学二轮复习 压轴大题规范练2 直线与圆锥曲线（2）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2017·北京)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.(1)解设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－，所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，直线BN的方程为y＝(x－2)．联立解得点E的纵坐标yE＝－.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2．(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？说明理由．解(1)依题意得解得则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则x＋4y＝4，直线PA：y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，则|BM|＝|1－yM|＝yM－1＝－1－.直线PB：y＝x＋1，令y＝0，得xN＝，则|AN|＝|2－xN|＝xN－2＝－2－，∴S△PMN－S△PAB＝|AN|·(|OM|－|OB|)＝|AN|·|BM|＝＝·＝·＝2.3．(2017届河北省衡水中学押题卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M′，N′是直线l上的两点，且F1M′⊥l，F2N′⊥l，求四边形F1M′N′F2面积S的最大值．解(1)因为△MNF2的周长为8，所以4a＝8，所以a＝2.又因为＝，所以c＝，所以b＝＝1，所以椭圆C的标准方程为x2＋＝1.(2)将直线l的方程y＝kx＋m代入到椭圆方程x2＋＝1中，得(4＋k2)x2＋2kmx＋m2－4＝0.由直线与椭圆仅有一个公共点知，Δ＝4k2m2－4(4＋k2)(m2－4)＝0，化简得m2＝4＋k2.设d1＝|F1M′|＝，d2＝|F2N′|＝，所以d＋d＝2＋2＝＝，d1d2＝·＝＝1，所以|M′N′|＝＝＝.因为四边形F1M′N′F2的面积S＝|M′N′|(d1＋d2)，所以S2＝××(d＋d＋2d1d2)＝.令k2＋1＝t(t≥1)，则S2＝＝＝＝12＋12，所以当＝时，S2取得最大值16，故Smax＝4，即四边形F1M′N′F2面积的最大值为4.4．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，其离心率为，又抛物线x2＝4y在点P(2,1)处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(－4,0)，斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k＋k2k＝λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)∵抛物线x2＝4y在点P(2,1)处的切线方程为y＝x－1，它过x轴上的点(1,0)，∴椭圆C的一个焦点为(1,0)，即c＝1.又∵e＝＝，∴a＝，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程为y＝k(x＋4)，联立⇒(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－2＝0，∴∵F1(－1,0)，k1＝，k2＝，∴＋＝＋＝，∴＋＝＝，∴k1k＋k2k＝k1k2.∴存在常数λ＝.