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高考数学二轮复习 压轴大题规范练2 直线与圆锥曲线(2)文-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学二轮复习 压轴大题规范练2 直线与圆锥曲线(2)文-人教版高三全册数学试题_第1页
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(二)直线与圆锥曲线(2)1.(2017·北京)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.(1)解设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得解得c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n),由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-,所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标yE=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2,所以yE=-n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0),离心率e=.(1)求椭圆C的方程;(2)设B为椭圆上顶点,P是椭圆C在第一象限上的一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,问△PMN与△PAB面积之差是否为定值?说明理由.解(1)依题意得解得则椭圆C的方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x+4y=4,直线PA:y=(x-2),令x=0,得yM=,则|BM|=|1-yM|=yM-1=-1-.直线PB:y=x+1,令y=0,得xN=,则|AN|=|2-xN|=xN-2=-2-,∴S△PMN-S△PAB=|AN|·(|OM|-|OB|)=|AN|·|BM|==·=·=2.3.(2017届河北省衡水中学押题卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,且△MNF2的周长为8,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M′,N′是直线l上的两点,且F1M′⊥l,F2N′⊥l,求四边形F1M′N′F2面积S的最大值.解(1)因为△MNF2的周长为8,所以4a=8,所以a=2.又因为=,所以c=,所以b==1,所以椭圆C的标准方程为x2+=1.(2)将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程x2+=1中,得(4+k2)x2+2kmx+m2-4=0.由直线与椭圆仅有一个公共点知,Δ=4k2m2-4(4+k2)(m2-4)=0,化简得m2=4+k2.设d1=|F1M′|=,d2=|F2N′|=,所以d+d=2+2==,d1d2=·==1,所以|M′N′|===.因为四边形F1M′N′F2的面积S=|M′N′|(d1+d2),所以S2=××(d+d+2d1d2)=.令k2+1=t(t≥1),则S2====12+12,所以当=时,S2取得最大值16,故Smax=4,即四边形F1M′N′F2面积的最大值为4.4.(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,其离心率为,又抛物线x2=4y在点P(2,1)处的切线恰好过椭圆C的一个焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点M(-4,0),斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A,B两点,直线AF1,BF1的斜率分别为k1,k2,是否存在常数λ,使得k1k+k2k=λk1k2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)∵抛物线x2=4y在点P(2,1)处的切线方程为y=x-1,它过x轴上的点(1,0),∴椭圆C的一个焦点为(1,0),即c=1.又∵e==,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),l的方程为y=k(x+4),联立⇒(1+2k2)x2+16k2x+32k2-2=0,∴∵F1(-1,0),k1=,k2=,∴+=+=,∴+==,∴k1k+k2k=k1k2.∴存在常数λ=.

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