高考数学大一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法配套练习 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第1讲数列的概念及简单表示法一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.B．cosC．cosπD．cosπ解析令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．答案D2．数列，－，，－，…的第10项是()A．－B．－C．－D．－解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－.答案C3．(2016·上饶调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝()A．2n－1B．2n－1＋1C．2n－1D．2(n－1)解析法一由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.法二由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.答案A4．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于()A．2n－1B．n2C.D.解析设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.答案D5．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4解析依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.答案D二、填空题6．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝________.解析借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.答案7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝________.解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝答案8．(2017·北京海淀期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N＋)，又anan＋1＝Sn，则a3－a1＝________.解析因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1，令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.答案1三、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，……an－1＝an－2，an＝an－1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.显然，当n＝1时也满足上式．综上可知，{an}的通项公式an＝.11．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.B.C．4D．0解析∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.答案D12．(2017·石家庄质检)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，则a2016的值为________．解析由题意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴数列{an}是周期为6的周期数列，而2016＝6×336，∴a2016＝a6＝－1.答案－113．(2017·太原模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝________.解析由an－an＋1＝nanan＋1得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，又因为a1＝1，所以＝＋1＝，所以an＝.答案14．(2016·榆林模拟)已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解(1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N＋)．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N＋)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋＝1＋，已知对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知5<<6，即－10