2.2.3直线与平面平行的性质课后篇巩固提升1.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则()A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能解析∵MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.答案B2.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析∵A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1,∴DE∥AB.答案B3.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线()A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.没有解析设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交.设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,a⊂平面β,则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.答案B4.若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是()A.a平行于α内的所有直线B.α内有无数条直线与a平行C.直线a上的点到平面α的距离相等D.α内存在无数条直线与a成90°角解析∵直线a平行于平面α,∴a与平面α内的直线平行或异面,选项A错误;选项B,C,D正确.故选A.答案A5.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,对于下列四个命题:①m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β;②n∥m,n⊂α⇒m∥α;③α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;④m∥α,n⊂α⇒m∥n.其中正确命题的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析①m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α与β可能相交,①错;②n∥m,n⊂α,则m可能在平面α内,②错;③α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能异面,③错;④m∥α,n⊂α,则m与n可能异面,④错,故所有命题均不正确.答案A6.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为()A.2+❑√3B.3+❑√3C.3+2❑√3D.2+2❑√3解析由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,即AB∥平面DCFE,∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.∵E是SA的中点,∴EF=1,DE=CF=❑√3.∴四边形DEFC的周长为3+2❑√3.答案C7.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线有条.解析如图所示,∵l∥平面α,P∈α,∴直线l与点P确定一个平面β,α∩β=m,∴P∈m,∴l∥m且m是唯一的.答案18.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.解析∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,∴MN∥PQ.∵MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC.∵AP=a3,∴DP=DQ=2a3.∴PQ=❑√2a·23=2❑√23a.答案2❑√23a9.如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,PFFC=.解析连接AC交BE于G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FG,所以PA∥FG,所以PFFC=AGGC.又因为AD∥BC,E为AD的中点,所以AGGC=AEBC=12,所以PFFC=12.答案1210.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.解析因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,所以EF=12AC=❑√2.答案❑√211.证明:若两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行.解已知:a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β=l.求证:a∥b∥l.证明:如图所示,∵a∥b,b⊂β,∴a∥β,又a⊂α,α∩β=l,∴a∥l.又a∥b,∴a∥b∥l.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,求证:M为PB的中点.证明设AC,BD的交点为E,连接ME.因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.
