高中数学第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程检测新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP免费

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高中数学第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程检测新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题_第1页

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4.1.2圆的一般方程[A级基础巩固]一、选择题1．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是()A．a>1B．00的条件．答案：－108．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．解析：由x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，得＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以当－k2＝0，即k＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)三、解答题9．已知定点A(4，0)，P点是圆x2＋y2＝4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．解：设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x′，y′)．则x＝，y＝，即x′＝2x－4，y′＝2y.又P点在圆x2＋y2＝4上，所以x′2＋y′2＝4，将x′＝2x－4，y′＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求Q点的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.10．已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0.(1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．(1)解：当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一条直线；当a≠－1时，＋＝表示圆．(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.令解得或故C过定点A(0，0)，B.(3)解：因为圆恒过点A，B，所以以AB为直径的圆面积最小．则圆心为.所以＝，解得a＝.B级能力提升1．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()A.B．5C．2D．10解析：圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.答案：B2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是________．解析：r2＝＝，所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝π.答案：π3．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．解：(1)令x＝0，得二次函数图象与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意知b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明如下：将圆C的方程x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0变形为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0.因为圆C过的定点与b无关，所以必有x2＋y2＋2x－y＝0且1－y＝0，解得x＝0，y＝1或x＝－2，y＝1.即圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．

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