专题限时训练(十)平面向量(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2015·贵州七校联考)在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且AD·AB＝AD·AC，则AD·AB的值等于()A．－4B．0C．4D．8答案：C解析： AD·AB＝AD·AC，∴AD·(AB－AC)＝AD·CB＝0，即AD⊥CB，故AD为△ABC的边BC上的高，在Rt△ABD中，AB＝4，∠ABD＝30°，∴AD＝2，∠BAD＝60°，∴AD·AB＝|AD||AB|cos∠BAD＝2×4×＝4.故选C.2．(2015·浙江六校模拟)已知向量a，b是单位向量，若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝，则|c＋2a|的取值范围是()A．[1,3]B．[2，3]C.D.答案：D解析：由题意设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则c－a＝(x－1，y)，c－2b＝(x，y－2)，则＋＝，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距离的和为，即表示点(1,0)和(0,2)之间的线段，|c＋2a|＝表示点(－2,0)到线段AB的距离，最小值是点(－2,0)到直线2x＋y－2＝0的距离，所以|c＋2a|min＝＝，最大值为(－2,0)到(1,0)的距离，是3，所以|c＋2a|的取值范围是.故选D.3．(2014·河北衡水中学一调)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A.B.C.D.答案：C解析：设a与b的夹角为θ. f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. 函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b>0，∴a·b<，又 |a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝<＝，即cosθ<，又 θ∈[0，π]，∴θ∈.故选C.4．在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且OA·OC＝1，则AB·AC等于()A．－1B．1C.D.答案：B解析：依题意，|OA|＝|OC|＝|AB|＝，OA·OC＝|OA||OC|cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝，∠AOC＝，则|AC|＝|OA|＝|OC|＝，∠BAC＝，AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC＝1.5．(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定答案：B解析：|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2.因为|b＋ta|min＝1，所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1.所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝.即θ确定，|b|唯一确定．二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.答案：3解析：解法一：如图建立平面直角坐标系，由题意知，A(3,0)，B(0,3)，设M(x，y)，由BM＝2MA，得解得即M点的坐标为(2,1)，所以CM·CB＝(2,1)·(0,3)＝3.解法二：CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB2＋CB×＝CB2＋CB·(CA－CB)＝CB2＝3.7．(2015·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA·OB＝6，则|OG|的最小值是________．答案：2解析：如图，在△AOB中，OG＝OE＝×(OA＋OB)＝(OA＋OB)，又OA·OB＝|OA||OB|cos60°＝6，∴|OA||OB|＝12，∴|OG|2＝(OA＋OB)2＝(|OA|2＋|OB|2＋2OA·OB)＝(|OA|2＋|OB|2＋12)≥×(2|OA||OB|＋12)＝×36＝4(当且仅当|OA|＝|OB|时，等号成立)．∴|OG|≥2，故|OG|的最小值是2.8．(2015·山西检测)在△ABC中，AC＝2AB＝2，BC＝，P是△ABC内部的一点，若＝＝，则PA＋PB＋PC＝________.答案：解析：＝＝tan∠APB，同理，＝tan∠BPC，＝tan∠APC，由题意知，tan∠APB＝tan∠BPC＝tan∠APC，又 ∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°，∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°.由余弦定理，得1＝PA2＋PB2＋PA·PB，3＝PB2＋PC2＋PB·PC,4＝PA2＋PC2＋PA·PC，三式相加，得8＝2PA2＋2PB2＋2PC2＋PA·PB＋PA·PC＋PB·PC.①由题意，知S△ABC＝S△PAB＋S△PCA＋S△PBC，又易得S△ABC＝，∴PA·PB·sin∠APB＋PA·PC·sin∠APC＋PB·PC·sin∠BPC＝，∴PA·PB＋PA·PC＋PB·PC＝2，②把②代入①整理，得PA2＋PB2＋PC2＝3，∴PA2＋PB2＋PC2＋2PA·PB＋2PA·PC＋2PB·PC＝7，∴(PA＋PB＋PC)2＝7，∴PA＋PB＋PC＝.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别...
