课下能力提升(六)空间图形的公理4及等角定理一、选择题1.若直线a∥b,b∩c=A,则a与c的位置关系是()A.异面B.相交C.平行D.异面或相交2.如图所示,在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有()A.2对B.3对C.4对D.6对3.如图所示,在长方体木块AC1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有()A.3条B.4条C.5条D.6条4.已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则EG2+HF2的值是()A.5B.10C.12D.不能确定5.异面直线a,b,有aα,bβ且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是()A.c与a,b都相交B.c与a,b都不相交C.c至多与a,b中的一条相交D.c至少与a,b中的一条相交二、填空题6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同;(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反.7.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则直线a与直线c的位置关系是________.8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注:把你认为正确结论的序号都填上).三、解答题9.长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.(1)求证:D1E∥BF;(2)求证:∠B1BF=∠D1EA1.10.如图,设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.(1)当λ=μ时,求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)当λ≠μ时,求证:①四边形EFGH是梯形;②三条直线EF,HG,AC交于一点.答案1.解析:选Da与c不可能平行,若a∥c,又因为a∥b,所以b∥c,这与b∩c=A矛盾,而a与c异面、相交都有可能.2.解析:选B据异面直线的定义可知共有3对.AP与BC,CP与AB,BP与AC.3.解析:选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点,故EF∥B1C1,因为和棱B1C1平行的棱还有3条:AD、BC、A1D1,所以共有4条.4.解析:选B如图所示,由三角形中位线的性质可得EHBD,FGBD,再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形,那么所求的是平行四边形的对角线的平方和,所以EG2+HF2=2×(12+22)=10.5.解析:选D若c与a、b都不相交,∵c与a在α内,∴a∥c.又c与b都在β内,∴b∥c.由基本性质4,可知a∥b,与已知条件矛盾.如图,只有以下三种情况.6.解析:(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同;(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.答案:(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17.解析:如图,可借助长方体理解,令a=CC1,b=A1B1,则BC,AD,DD1均满足题目条件,故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面.答案:平行、相交或异面8.解析:由异面直线的定义知③④正确.答案:③④9.证明:(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EMA1B1,∵A1B1C1D1,∴EMC1D1,∴四边形EMC1D1为平行四边形,∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中,易得MBC1F,∴四边形BFC1M为平行四边形,∴BF∥C1M,∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF,BB1∥EA1,又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,∴∠B1BF=∠D1EA1.10.证明:在△ABD中,==λ,故EHλBD.同理FGμBD.由公理4得EH∥FG,又可得FG=EH.(1)若λ=μ,则FG=EH,故EFGH是平行四边形.(2)①若λ≠μ,则EH≠FG,故EFGH是梯形.②在平面EFGH中EF、HG不平行,必然相交.设EF∩HG=O,则由O∈EF,EF平面ABC,得O∈平面ABC.同理有O∈HG平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以O∈AC,即EF、HG、AC交于点O.