高中数学 课下能力提升（六）空间图形的公理4及等角定理 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

课下能力提升（六）空间图形的公理4及等角定理一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交2．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5B．10C．12D．不能确定5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．7．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．三、解答题9．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.10．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH是梯形；②三条直线EF，HG，AC交于一点．答案1.解析：选Da与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．2.解析：选B据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.3.解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4.解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EHBD，FGBD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5.解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6.解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17.解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8.解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④9.证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EMA1B1，∵A1B1C1D1，∴EMC1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MBC1F，∴四边形BFC1M为平行四边形，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.10.证明：在△ABD中，＝＝λ，故EHλBD.同理FGμBD.由公理4得EH∥FG，又可得FG＝EH.(1)若λ＝μ，则FG＝EH，故EFGH是平行四边形．(2)①若λ≠μ，则EH≠FG，故EFGH是梯形．②在平面EFGH中EF、HG不平行，必然相交．设EF∩HG＝O，则由O∈EF，EF平面ABC，得O∈平面ABC.同理有O∈HG平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以O∈AC，即EF、HG、AC交于点O.