立体几何一、选择题1、三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为()A.8B.4C.D.答案：C2、某几何体的三视图如图2所示(单位：cm),则其体积和表面积分别是（）A.和B.和C.和D.和答案：A3、一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A、B、1C、D、2答案：A4、已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则下列命题中正确的为(C)A.直线AB⊥直线CD,且直线AC⊥直线BDB.直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE答案：C5、如图4，一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是答案：A二、填空题1、某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为.答案：82、若、是不重合的平面，、、是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是．（写出所有真命题的序号）①若，，则②若，，则③若，，则④若，且，，则答案：②③（对1个3分，错1个分）三、解答题解法二图ABCDPEFHxyz解法一图ABCDPEF..ACDBEF图5图6ABCDPEF1、如图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图所示),连结、、,其中.(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.(Ⅰ)由翻折不变性可知,,,在中,,所以……………2分在图中,易得,………3分在中,,所以…………………4分又,平面,平面,所以平面.………………6分（注：学生不写扣1分）(Ⅱ)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,所以,,,…………8分设平面的法向量为,则,即,解得令,得,……………………………………………12分设直线与平面所成角为,则.所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………14分方法二:过点作于,由(Ⅰ)知平面,而平面所以,又,平面,平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角.………………………9分在中,…………………………11分在中,由等面积公式得………………………………13分在中,所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………14分2、在如图6的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，∥，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明1：因为，，在△中，由余弦定理可得．……………………………2分所以．所以．………………………………………………………………3分图6ABCDEF因为，，、平面，所以平面．……………………………………………………………4分证明2：因为，设，则．在△中，由正弦定理，得．……………………1分因为，所以．整理得，所以．……………………………………………2分所以．………………………………………………………………3分因为，，、平面，所以平面．…………………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．……………………………6分取的中点，连结，，因为是等腰梯形，且，，所以．所以△是等边三角形，且．………………7分取的中点，连结，，则．………8分因为平面，，所以．因为，所以平面．……………9分所以为直线与平面所成角．……………10分因为平面，所以．…………………11分MNABCDEF因为，，……………………………12分在△中，．………………………………13分所以直线与平面所成角的正弦值为．……………………………14分解法2：由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．……………………………………6分所以，，两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系．………………………7分因为是等腰梯形，且，所以．不妨设，则，，，，，所以，，．………………………9分设平面的法向量为，则有即取，得是平面的一个法向量．…………………………11分设直线与平面所成的角为，xABCDEFyz则．………………13分所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………………14分3、如...
