二次函数与二次方程二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f(β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f(β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af(β)＞0①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）从四种情形得充要条件是：f(α)·f(β)＜0②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：用心爱心专心∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f(α)＜0，f(β)＜0当a＞0时的充要条件是：f(α)＞0，f(β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af(α)＜0，af(β)＜0③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af(α)＞0④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af(β)＞0⑤例9．已知方程x2+2Px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为。解：记f(x)=x2+2Px+1，则f(x)r的图象开口向上，当f(x)与x轴的两交点一个在（1,0）左方，另一个在（1,0）右方时，必有f(1)＜0，即：12+2P＋1＜0，即P＜－1所以P的取值为（－∞，－1）用心爱心专心例10．如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范围。解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一（图5）：得充要条件：（1-m2）f(0)＜0,(1-m2)f(1)＜0；即1-m2＞0,(1-m2)(2m-m2)＜0解得：-1＜m＜0例11．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根，（北京市1994年高中一年级数学竞赛复赛试题）。证明：已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=(b-1)2-4ac＜0若a＞0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。∴对f(x)，有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立∴f(f(x))=x无实根。若a＜0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立，∴对任意实数x，f(x)＜0恒成立，∴对实数f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立，∴f(f(x))=x无实根。用心爱心专心综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x))=x也无实根。用心爱心专心
