第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3,4,5,7,8,9,13反证法2数学归纳法6,10,15推理与证明的综合应用11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(B)(A)不成立(B)成立(C)不能断定(D)与n取值有关解析:因为Sn=2n2-3n,所以n=1时a1=S1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1时适合an,且an-an-1=4,故{an}为等差数列,即命题成立.故选B.2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”正确的反设为(B)(A)a,b,c中至少有两个偶数(B)a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)a,b,c都是奇数(D)a,b,c都是偶数解析:a,b,c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数.其否定有a,b,c均为奇数或a,b,c至少有两个偶数.故选B.3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是(A)(A)a>b>c(B)b>c>a(C)c>a>b(D)a>c>b解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,又因为+>+>+>0,所以a>b>c.故选A.4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证
0(B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)<0解析:0(a-c)(2a+c)>0(a-c)(a-b)>0.⇔⇔故选C.5.设00,b>0,a,b为常数,+的最小值是(C)(A)4ab(B)2(a2+b2)(C)(a+b)2(D)(a-b)2解析:(+)(x+1-x)=a2+++b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2.当且仅当x=时,等号成立.故选C.6.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(A)(A)(k+3)3(B)(k+2)3(C)(k+1)3(D)(k+1)3+(k+2)3解析:假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.7.(2016·兰州调研)已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是.解析:因为>(a≠b)a+b>2⇒2(a+b)>a+b+2⇒a+b>⇒⇒>,即x0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx)2,则(A)(A)P>Q(B)P0,所以P>2;又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.故选A.10.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(C)(A)n+1(B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域.故选C.11.(2017·邯郸模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③12.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是.解析:法一(补集法)令解得p≤-3或p≥,故满足条件的p的范围为(-3,).法二(直接法)依题意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-b>c>d>0且a+d=b+c,求证:+<+.证明:要证+<+,只需证(+)2<(+)2,即a+d+2
