高考必考题突破讲座(四)直线、平面与空间向量的应用[解密考纲]立体几何问题是高考的重要内容，每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题和空间夹角的计算等，难度中等．1．(2018·广东五校诊断)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．解析(1) 四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC． AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE. AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.(2)以O为原点，OA，OB的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a>0)，OF＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin45°＝|cos〈OF，n〉|＝＝＝. a>0，∴解得a＝3.∴OF＝(－1,0,3)，BE＝(1，－，2)，∴cos〈OF·BE〉＝＝＝.故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.2．(2018·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC,2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.(1)求证：平面PBAD⊥平面COD；(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值．解析(1)证明： OB＝OC，又 ∠ABC＝，∴∠OCB＝，∴∠BOC＝，即CO⊥AB．又PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥OC．又 PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB＝O，∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PBAD．又CO⊂平面COD，∴平面PBAD⊥平面COD．(2)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设|OA|＝1，则|PO|＝|OB|＝|OC|＝2，|DA|＝1.则C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0，－1,1)，∴PD＝(0，－1，－1)，BC＝(2，－2,0)，BD＝(0，－3,1)．设平面BDC的法向量为n＝(x，y，z)，∴∴令y＝1，则x＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．设PD与平面BDC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为.3．(2018·湖北武汉调考)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．解析方法一(1)建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)，设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0，且AS＝(x－2，y－2，z，)，BS＝(x，y－2，z)．DS＝(x－1，y，z)．由|AS|＝|BS|，得＝，得x＝1，由|DS|＝1得y2＋z2＝1，①由|BS|＝2得y2＋z2－4y＋1＝0，②由①②解得y＝，z＝，∴S，AS＝，BS＝，DS＝，∴DS·AS＝0，DS·BS＝0，∴DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩DS＝S，∴SD⊥平面SAB．(2)设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c)，BS＝，CB＝(0,2,0)，AB＝(－2,0,0)，由得∴可取m＝(－，0,2)，故AB与平面SBC所成的角的正弦值为cos〈m，AB〉＝＝＝.方法二(1)如右图，取AB的中点E，连接DE，SE，则四边形BCDE为矩形，∴DE＝CB＝2，∴AD＝＝. 侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝SB＝AB＝2，且SE＝，又SD＝1，∴SA2＋SD2＝AD2，SE2＋SD2＝ED2，∴SD⊥SA，SD⊥SB，又AS∩DS＝S，∴SD⊥平面SAB．(2)作S在DE上的射影G， AB⊥SE，AB⊥DE，AB⊥平面SDE，∴平面SDE⊥平面ABCD，两平面的交线为DE，∴SG⊥平面ABCD，在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG得1×＝2×SG，∴SG＝，作A在平面SBC上的射影H，则∠ABH为AB与平面SBC所成的角， CD∥AB，AB⊥平面SDE，∴CD⊥平面SDE，∴CD⊥SD，在Rt△CDS中，由CD＝SD＝1，求得SC＝.在△SBC中，SB＝BC＝1，SC＝，∴S△SBC＝××＝，由VA－SBC＝VS－ABC，得·S△SBC·AH＝·S△ABC·SG，即××AH＝××2×2×，得AH＝，∴sin∠ABH＝＝，故AB与平面SBC所成的角的正弦值为.4．(2018·安徽江南名校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．(1)求证：DE∥平面BPC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F...
