第2讲几何概型一、选择题1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：选A．如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．2．设a∈[0，10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为()A．B．C．D．解析：选B．因为函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数，所以a－2＜0，解得a＜2，所以函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为＝．3．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A．2－B．4－C．－D．解析：选B．设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B．4．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为()A．B．C．D．解析：选D．由题图可知VFAMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为＝．5．1如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为()A．B．C．D．解析：选C．当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选C．6．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A．B．C．D．解析：选C．如图所示，设点M是BC边的中点，因为PB＋PC＋2PA＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝＝，故选C．二、填空题7．某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为a2．由正弦定理得2R＝，即R＝a，所以圆的面积S＝πR2＝πa2．由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝．答案：8．如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为________．解析：因为OA＝1，若△AOB的面积小于，则×1×1×sin∠AOB<，所以sin∠AOB<，所以0<∠AOB<或<∠AOB<π，所以△AOB的面积小于的概率为．答案：29．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为________．解析：如图，△ABC为直角三角形，且BC＝5，AC＝12．图中阴影部分是三个分别以A，B，C为圆心，2为半径的扇形，所以S阴＝π×22＝2π．所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率P＝＝＝．答案：10．在区间上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率是________．解析：因为x∈，所以x＋∈，由sinx＋cosx＝sin∈[1，]，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为＝．答案：三、解答题11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M．(1)求四棱锥MABCD的体积小于的概率；(2)求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率．解：(1)正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝．因为S四边形ABCD＝1，所以h＝．若体积小于，则h<，即点M在正方体的下半部分，所以P＝＝．(2)因为V三棱柱ABCA1B1C1＝×12×1＝，所以所求概率P1＝＝．12．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8．因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝＝．(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，故所求概率为P2＝＝．31．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标...
