空间直角坐标系的应用空间直角坐标系是在平面坐标系的基础上，通过类比推广建立的，从而可以将“坐标法”推广到空间去解决空间几何体问题.利用空间直角坐标系解题时，依据几何体的特点建立适当的坐标系是解决问题的基础，合理、准确地求出相关点的坐标是解决问题的关键.与此同时，还要掌握空间直角坐标系中一些特殊点的坐标特点，主要有：（1）点P在Ox轴上时，其坐标为(00)x，，；点P在Oy轴上时，其坐标为(00)y，，；点P在Oz轴上时，其坐标为(00)z，，．（2）点P分别在xOy坐标平面，yOz坐标平面或xOz坐标平面时，其坐标分别为(0)(0)PxyPyz，，，，，或(0)Pxz，，．（3）点()Pxyz，，关于x轴对称的点为1()Qxyz，，；关于y轴对称的点为2()Qxyz，，；关于z对称的点3()Qxyz，，．关于xOy平面对称的点为4()Qxyz，，；关于yOz平面对称的点为5()Qxyz，，；关于xOz平面对称的点为6()Qxyz，，．下面举例说明其应用．例1已知(234)A，，，在y轴上求一点B，使7AB，则点B的坐标为．解析：由题意，设点B的坐标为(00)y，，，则222(02)(3)(04)7y，解得329y．故点B的坐标为(03290)B，，或(03290)B，，．例2已知点3(331)(105)124ABC，，，，，，，，．（1）求线段AB中点D的坐标；（2）证明：ACBC；（3）求到AB，两点距离相等的点()Pxyz，，的坐标xyz，，所满足的条件．解析：（1）设线段AB中点D的坐标为()xyz，，，则312302152xyz，，，即3232D，，．（2）由空间两点间的距离公式，得22231613(31)(12)44AC，22231611(01)(52)44BC，用心爱心专心ACBC．（3）点()Pxyz，，到AB，的距离相等，则222222(3)(3)(1)(1)(0)(5)xyzxyz，化简，得46870xyz，即到AB，距离相等的点P满足的条件是46870xyz．例3已知(1211)(423)(614)ABC，，，，，，，，，求证：ABC△是直角三角形．证明：222(14)(22)(113)89AB，222(16)(21)(114)75AC，222(46)(21)(34)14BC，222ACBCAB．ABC△为直角三角形．例4如图1，直三棱柱111ABCABC中，1CACB，90BAC，棱12AAMN，，分别是111ABAA，的中点．求BN的长．解析：如图1，以C为坐标原点O，分别以1CACBCC，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则(010)B，，，(101)N，，．222(10)(01)(10)3BN．例5如图2，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若(02)CMBNaa．（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小．解析：（1）如图2，以点B为原点，BABEBC，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．可求得22220102222MaaNaa，，，，，．22222222010212222MNaaaaaa．（2）由（1）知22122MNa，用心爱心专心当22a时，22MN，即MN，分别移动到ACBF，的中点时，MN的长最小，最小值为22．用心爱心专心
