第4讲数列求和VIP免费

探究一分组转化法求和探究一分组转化法求和探究二裂项相消法求和探究二裂项相消法求和探究三错位相减法求和探究三错位相减法求和训练1例1训练2例2训练3例3知识与方法回顾技能与规律探究经典题目再现辨析感悟辨析感悟知识梳理知识梳理(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝______________.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝________，q≠1.1．公式法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．na1＋nn－12d2．数列求和的几种常用方法1(1)1naqq(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（未完，下一页续）(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(5)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.3．常见的拆项公式数列求和的常用方法二个防范【例1】已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.考点Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，分组转化法求和解析：综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋n－12－nln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.规律方法(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．考点分组转化法求和分组转化法求和【训练1】(2014·湖州质检)在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)见下一页解(1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，故3q＝3＋3d，3q2＝3＋12d⇒q＝1＋d，q2＝1＋4d⇒q＝3或1(舍去)．所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1.考点(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.解(2)由题意，得cn＝Sn＝c1＋c2＋…＋cn＋3＋32＋…＋3n.当n为偶数时，Sn＝n＋3n＋12－32＝3n＋12＋n－32；当n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋3n＋12－32＝3n＋12－n－72.所以Sn＝3n＋12＋n－32，n为偶数，3n＋12－n－72，n为奇数.(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，考点二裂项相消法求和【例2】(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)见下一页考点(1)解由S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.规律方法(2)令bn＝n＋1n＋22a2n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜564.(2)证明第一问结果：数列{an}的通项an＝2n.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消...