第六章实数6.1平方根教学目标：1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；2.能用符号正确表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；3.通过探索平方根与算术平方根的区别与联系，学会运用算术平方根解决平方根问题；4.通过对平方根的学习，培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯。重点：平方根的概念和求数的平方根。难点：平方根和算术平方根的联系与区别。教学过程一．创设问题情境，引入新课前面学习了算术平方根，知道一个正数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的算术平方根，记作x=√a,并且规定，0的算术平方根是0.假设我们知道一个正方形的面积是9，用我们所学的算术平方根知识，你能求出它的边长是多少吗？（学生回答，教师讲解）如果我们把题目条件改成“已知一个数的平方等于9，求这个数是多少？”（学生回答，教师归纳）我们知道，32=9，（−3）2=9，所以所求的数是3或-3，其中3是9的算术平方根，那么-3又是9的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题。二．讲授新课首先我们先来完成课本45页的“填表”。x21163649425x由于1的平方等于1，-1的平方也等于1，所以平方等于1的数有两个，即±1.（剩下的数由学生思考回答）教师提出疑问：根据上节课所学内容，想3,1,4分别是9,1,16的算术平方根，那么可不可以说-3，-1，-4也分别是9,1,16的算术平方根呢?（教师总结）不可以，因为我们知道算术平方根是没有负数的。以（±3）2=9为例，鉴于±3的平方都等于9，所以我们把3和-3合在一起，称之为9的平方根。那么接下来，我们来认识平方根的概念。（板书）1.一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根，记作：x=±√a（a≥0）2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注：平方与开平方互为逆运算。（在板书讲解的过程中，要注意帮助学生理清平方根概念与算术平方根概念的区别，同时布置随堂练习：课本47页练习2，进一步加深对“平方与开平方互为逆运算”的理解。）（教师讲解）课本45页例4求下列各数的平方根：（1）100；（2）916；（3）0.25解：（1）因为（±10）2=100，所以100的平方根是±10；（2）因为（±34）2=916，所以916的平方根是±34；（3）因为（±0.5）2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.（学生思考）正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？（教师归纳、板书）3.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（进一步深入理解平方根概念）我们知道，正数a的算术平方根可以用√a表示；正数a的负的平方根，可以用符号“-√a”表示，故正数a的平方根可以用符号“±√a”表示，读作“正负根号a”。例如±√9=±3，±√25=±5.（教师提问，学生思考回答）符号√a只有当a≥0时有意义，a＜0时无意义。你知道为什么吗？（教师继续讲解）课本46页例5求下列各式的值：（1）√36；（2）－√0.81；（3）±√499.解：（1）因为62=36，所以√36=6；（2）因为0.92=0.81，所以－√0.81=－0.9；（3）因为（73）2=499，所以±√499=±73.（教师提问）1.知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根吗，为什么？2.学到这里，请大家思考平方根与算术平方根有哪些联系和区别？（教师归纳总结）1.正数的平方根有两个，它们互为相反数；当然，如果这个数是0，由于0的相反数是0，所以0的负的平方根依然是0；负数没有平方根。2.平方根与算术平方根有哪些联系和区别：联系：（1）具有包含关系，平方根含有算术平方根，算术平方根是平方根的一种；（2）存在条件相同，只有非负数才有平方根和算术平方根；（3）0的平方根和算术平方根都是0.区别；（1）概念不同；（2）个数不同，正数的平方根有两个，而正数的算术平方根只有一个；（3）表示法不同，正数a的平方根表示为±√a。三．课堂练习课本46页至47页练习1，3,4题（学生当堂练习，教师适当讲解）四．布置作业课本习题6.1第3,8题板书设计6.1平方根1.一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根，记作：x=±√a（a≥0）2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注：平方与开平方互为逆运算。3.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
