2016年竞赛与自主招生专题第五讲函数与方程从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、函数的图像及解析式等。而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。一、知识精讲一．一元二次方程20(0)axbxca有关公式1.一元二次方程的根：242bbacxa2.根与系数的关系：12bxxa，12cxxa（韦达定理）3.判别式：24bac．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()fxm在集合D上恒成立在集合D上min()fxm．（2）不等式()fxn在集合D上恒成立在集合D上max()fxn．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D上存在实数x使不等式()fxm成立在集合D上max()fxm．（2）在集合D上存在实数x使不等式()fxn成立在集合D上min()fxn．3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D上恰成立该不等式的解集为D．三．几个常见的函数方程1.正比例函数,具有性质：.2.指数函数,具有性质：.3.对数函数,具有性质：.方程的根与函数的零点：1.对于函数()yfx，我们把使()0fx的实数叫做函数()yfx的零点．2.方程()0fx有实数根函数()yfx的图象与x轴有交点函数()yfx有零点3.零点存在定理：设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()0fafb，那么在开区间(,)ab内至少存在一点c，使()0fc。►函数零点的理解：（1）函数()yfx的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数（2）函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。（3）若函数在区间[,]ab上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。二．三次方程的韦达定理：设三次方程320(0)axbxcxda的三个根分别是123,,xxx，则有123121323123,,.bxxxacxxxxxxadxxxa这个定理的证明并不困难，只要把式子32123()()()axbxcxdaxxxxxx展开，比较x的同次项系数即可。三．整系数多项式的根：若既约分数qp（即(,)1,0,,pqppqZ）为整系数多项式1110nnnnaxaxaxa的根，则0|,|npaqa。二、竞赛题目精练【2015年江苏竞赛】关于x的方程x2―2ax＋a2―4a＝0有模为3的虚数根，则实数a的值是．解：由题(x－a)2＝4a＜0，所以x＝a―2i，又|x|2＝a2―4a＝9，即有a―2＝±，因为a＜0，所以a＝2―．三、典例精讲例1．（2012复旦）设三次方程30xpxq的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是。（A）1322i（B）1322i（C）3122i（D）3122i►分析与解答：设这三个根为2111,','xqxqx，则由三次方程根的韦达定理有2211113''01''0,'22xqxqxqqqi。故选A。例2．（2012“北约”）求1210272611xxxx的实数根的个数►分析与解答：原方程即22(2)629(2)102251xxxx。|23||25|1xx。令2|3||5|1xttt。由于|3||5|tt|(3)(5)|2tt。所以原方程无实根。例3．（2011复旦千分考）设,(,)ab，0b，,,是三次方程30xaxb的3个根，则总以111111,,为根的三次方程是（）（A）232220axabxbxa（B）232220bxabxaxb（C）232220axabxbxa（D）232220bxabxaxb►分析与解答：由三次方程的韦达定理：0,,,b...
