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与幂有关的猜想题赏析江苏葛余常猜想，是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中的一种创造性思维，猜想题是用归纳方法从具体，特殊的事实中探究其存在的规律把潜藏在表面现象中的本质挖掘出来的一种热点题型。它内容丰富，形式多样，引人入胜，现采撷几瓣与幂有关的“花絮”供大家赏析，望能从中得到启迪。一、猜大小例1（2002年龙岩市中考题）阅读下面材料并完成填空。你能比较两个数20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和(n+1)n的大小(n≥1的整数)，然后，从分析n=1,n=2,n=3,……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。（1）通过计算，比较下列（1）~（3）各组两个数的大小（在横线上填“>”，“<”或“=”）①12________21②23________32③34_______43④45>54⑤56>65⑥67>76⑦78>87…(2)从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是：_________________________________________________________________________________________________（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20012002_____20022001（填“>”，“<”或“=”）解：（1）通过计算知：①12<21②23<33③34>43(2)nn+1<(n+1)n(n≤2)nn+1>(n+1)n(n≥3)（3）由（2）的规律知：20012002>20022001二、猜个数例2：（2004年福州中题）如图是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第4行有8个，……。你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有_______个苹果。析解：由图可发现第二，三，四，……行的苹果数分别是第一行的21,22,23,……倍，∴第十行苹果数应为第一行苹果数的29倍。1三、猜规律例3：（2004年威海中考题）观察下列等式：===……请你用两个字母表示这个规律：__________________________析解：认真分析等式的变化规律，不难发现5=2+3，7=5+2，9=5+4于是，可得出规律：=四、猜数字例4：（2005年南安中考题）观察下列式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243……由此可判断32005的个位数字是______________。析解：计算35=729,36=2187,37=6561,38=19683，……不难看出3的正整数幂的个位数字按3,9,7,1循环出现，所以32005=3501×4+1的个位数字与31的个位数字相同，应为3。五、猜等式例5：（2005年日照市）已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；④13＋23＋33＋43＝102；…………由此规律知，第⑤个等式是．析解：通过观察已有的四个等式：左边的底数是连续的正整数，指数都是3，右边的底数是左边的底数之和，指数是2，故可推断第⑤个等式是13+23+33+43+53=152。六．猜长度2例6（2003年南京中考题）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）A.()3mB.()5mC.()mD.()12m析解：第一次剪去一半剩下的绳子的长度是（）1m，第二次剪去一半剩下的绳子的长度是（）2m，第三次剪去一半剩下的绳子的长度是（）3m，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度()m，故选C.七．猜图形例7（2005年大连市）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图所示的几何图形。（1）请你利用这个几何图形求的值为__________。（2）请你利用图，再设计一个能求的值的几何图形。析解：这个数学探究活动考察几何图形的规律以及数列求和，解答本题关键在于图形提供的信息。（1）。（2）如下图。以上所举类型，也许只是与幂有关的猜想题中的很少一部分，但它们都以能力立意，突出观察、发现、探究、推理的完整过程，体现从特殊到一般、类比、归纳等数学思想，已成为推进素质教育和实施新课程中31212121221221221221231231231231241241212212312412培养学生探索创新意识和能力的一个新亮点。4