数学思想方法构建7VIP免费

数学思想方法构建七思想方法1分类讨论思想在概率分布中的应用分类讨论思想在本专题中的应用主要体现在以下两点：(1)互斥事件的概率求法；(2)用于讨论随机变量的取值，进而求离散型随机变量的分布列．求解的关键是审清题意，找准分类标准，力争做到不重不漏．【典例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X、Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．[思路点拨]依题意，4人中，每个人参加甲游戏的概率为13，相互独立，利用相互独立事件、互斥事件概率求第(1)、(2)两问；对于第(3)问，ξ的取值为0,2,4，关键求P(ξ＝k)(k＝0,2,4)的概率．解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．则P(Ai)＝C4i13i234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C42132232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3与A4互斥，∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝C43133×23＋C44134＝19.(3)依题设，ξ的取值分别为0,2,4.且A1与A3互斥，A0与A4互斥．则P(ξ＝0)＝P(A2)＝827.P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)＝C41131·233＋C43133×23＝4081，P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)＝C40234＋C44134＝1781.所以ξ的分布列是ξ024P82740811781[反思与回顾]1.本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参加甲游戏的概率P＝C4i13i234－i，这是本题求解的关键．2．解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能利用分类思想把ξ＝0,2,4的事件转化为相应的互斥事件Ai的概率和．思想方法2转化与化归思想在概率与统计中的应用转化与化归思想在本专题中的应用主要体现在如下两点：(1)将实际背景为素材的问题转化为概率问题；(2)阅读题干，提取有关信息，然后再用提取的信息求解后面的概率问题．【典例2】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如表所示：且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．解(1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由X1的概率分布列，得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由6a＋7b＝3.2，a＋b＝0.5，解得a＝0.3，b＝0.2.(2)由已知得样本的频率分布表如表：X2345678P0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如表：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)＝3·P(X2＝3)＋4·P(X2＝4)＋5·P(X2＝5)＋6·P(X2＝6)＋7·P(X2＝7)＋8·P(X2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性...