例1：二次方程式计算Y=a0+a1x+a2x2y=+2.4x+1.3x2下表为自动计算系数，给出9组x和y的数值，自动计算出系数。xyx^2x^3x^4xyx^2y11-2.6111-2.6-2.6123.748167.414.81312.69278137.8113.41424.1166425696.4385.61538.2251256251919551654.93621612963291976.41774.24934324015193635.81896.16451240967696150.419120.681729656110859768.6求和945421.8285202515333303322997.4945285421.8452852025303328520251533322997.4系数系数值a0-6.30xya12.40896.10a21.30原理与多项式拟合说明附后。第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(xp同所给数据点),(iiyx(i=0,1,⋯,m)误差iiiyxpr)((i=0,1,⋯,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差iiiyxpr)((i=0,1,⋯,m)绝对值的最大值imir0max，即误差向量Tmrrrr),,(10的∞—范数；二是误差绝对值的和miir0，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和miir02的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和miir02来度量误差ir(i=0，1，⋯，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据),(iiyx(i=0,1,⋯，m)，在取定的函数类中,求)(xp,使误差iiiyxpr)((i=0,1,⋯,m)的平方和最小，即miir02=miiiyxp02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(iiyx(i=0,1,⋯,m)的距离平方和为最小的曲线)(xpy〔图6-1〕。函数)(xp称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(xp的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(iiyx(i=0,1,⋯,m)，为所有次数不超过)(mnn的多项式构成的函数类，现求一nkkknxaxp0)(,使得min)(00202miminkikikiinyxayxpI(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式〔1〕的)(xpn称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然minkikikyxaI020)(为naaa,,10的多元函数，因此上述问题即为求),,(10naaaII的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得njxyxaaImijinkikikj,,1,0,0)(200(2)即njyxaxnkmiijikmikji,,1,0,)(000(3)〔3〕是关于naaa,,10的线性方程组，用矩阵表示为miinimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiiyxyxyaaaxxxxxxxxm000100201001020001(4)式〔3〕或式〔4〕称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组〔4〕的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式〔4〕中解出ka(k=0,1,⋯，n)，从而可得多项式nkkknxaxp0)((5)可以证明，式〔5〕中的)(xpn满足式〔1〕，即)(xpn为所求的拟合多项式。我们把miiinyxp02)(称为最小二乘拟合多项式)(xpn的平方误差，记作miiinyxpr0222)(由式(2)可得minkmiikikiyxayr000222)((6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1)由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；(2)列表计算mijinjx0)2,,1,0(和miijinjyx0)2,,1,0(；(3)写出正规方程组，求出naaa,,10；(4)写出拟合多项式nkkknxaxp0)(。在实际应用中，mn或mn；当mn时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。例1测得铜导线在温度iT(℃)时的电阻)(iR如表6-1，求电阻R与温度T的近似函数关系。i0123456iT(℃))(iR解画出散点图〔图6-2〕，可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为TaaR10列表如下iiTiR2iTiiRT0123456正规方程组为445.200295.56583.93253.2453.245710aa解方程组得921.0,572.7010aa故得R与T的拟合直线为TR921.0572.70利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度℃时，铜导线无电阻。6-2例2例2已知实验数据如下表i012345678ix1345678910iy1054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解设拟合曲线方程为2210xaxaay列表如下Iixiy2ix3ix4ixiiyxiiyx20110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正规方程组102514732253173017381301738152381529210aaa解得2676.06053.3,45...
