因式分解分解的方法VIP专享VIP免费

因式分解技巧王洪442500（2015年1月5日湖北省十堰市郧阳区城关镇第一初级中学中小学数学杂志社中学版635228216@qq.com）因式分解是初中数学的一个重要内容，它放在八年级上学期，前一章是整式的乘除，后一章是分式，这三章可以说紧密相连，又呈现知识的前后关系，整式的乘法是从积到多项式的变化过程。而因式分解则是从多项式到整式积的变化过程，从这个变化过程可以看出整式乘法运算对因式分解熟练程度的重要性，分式借助分式的性质约分，分式的加减无不渗透因式分解的知识，甚至可以统领分式，好多学生在学了这三章后，尤其是前两章知识后相互混淆，觉得学的特别困难。下面结合教学实际和同行浅谈一下分解因式的数学思想方法。一先变式再分解有些多项式在分解前需要作适当的变式，这里主要对含有乘方且底数互为相反数的项的变式，一般来说变偶次方比变奇次方好些，它不涉及符号问题。例1.18(a-b)2-12b(b-a)22.3ab(x-y)3-6a2b(y-x)2解:1.18(a-b)2-12b(b-a)2=18(a-b)2-12b(a-b)2=6(a-b)2(3a-5b）2.3ab(x-y)3-6a2b(y-x)2=3ab（x-y）2（x-y-2a）二先化简再分解存在这样的多项式，常规的方法无从分解，特点是含有括号，这时先化简再确定方法无疑柳暗花明。例21.4x(x+y)+y22.(p-4)(p+1)+3p3.(2a-b)2+8ab解:1.4x(x+y)+y2=4x2+4xy+y2=(2x+y)22.(p-4)(p+1)+3p=p2-4=(p+2)(p-2)3.(2a-b)2+8ab=(2a-b)2三先分解再分解某些多项式初看有一定的方法分解，这时就先分解，不要再考虑其它方法了，但务必记住要分解彻底，因此再分解首当其冲。例31.(a2+4b2)2-16a2b22.-2(m-n)2+323.(x2+4)2-16x24.16m4-8m2+15.(x2-5)2-16x26.(x2-x)2+1/2(x2-x)+167.16m4-8m2+1解:1.(a2+4b2)2-16a2b2=(a2+4ab+4b2)(a2-4ab+4b2)=(a+2b)2(a-2b)22.-2(m-n)2+32=-2[(m-n)2-42]=-2(m-n+4)(m-n-4)3.(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)24.16m4-8m2+1=(4m2-1)2=(2m+1)2(2m-1)25.(x2-5)2-16x2=（x2+4x-5)(x2-4x-5)=(x+5)(x-1)(x-4))x+1)6.(x2-x)2+1/2(x2-x)+1/16=(x2-x+1/4)2=(x-1/2)47.16m4-8m2+1=(4m2-1)2=(2m+1)2(2m-1)2四整体统筹法存在部分多项式既有括号也沉长，但有个因式至少两次出现，这时就要把这个因式看作一个整体千万不要分开，再考虑适当的分解方法。例41.(m+n)2-4(m+n-1)2.(a+b)2-12(a+b)+363.(a+b)2-12a-12b+364.(a+1)2+(a2+a)2解:1.(m+n)2-4(m+n-1)=(m+n)2-4(m+n)+4=(m+n-2)22.(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b-6)23.(a+b)2-12a-12b+36=.(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b-6)24.(a+1)2+(a2+a)2=(a+1)2+a2(a+1)2=(1+a2)(a+1)2五先分组再分解对于四项式以上的多项式分解，先分组再分解无需犹豫。分组分解有两种形式，一三分组和二二分组。一三中三大多是个完全平方式，最后一三是平方差的形式。二二中每个二各自分解，二二之间一定要出现新的公因式，否则分组是无效的，再重新分组例51.x2+2x-4y2-4y2.a2-1-2ab+b23.ac-bc+a2-ab4.x2-y2+ax+ay解:1.x2+2x-4y2-4y=(x2-4y2)+(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)+2(x-2y)=(x+2y)(x-2y+2)2.a2-1-2ab+b2=(a2-2ab+b2)-1=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1)3.ac-bc+a2-ab=(ac-bc)+(a2-ab)=c(a-b)+a(a-b)=(c+a)(a-b)4..x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)六．先提取再分解对于一个多项式，只要有公因式总是先提取公因式，然后再考虑其它方法例61.4xy2-4x2y-y32.4a3-4a2+a3.xy3-2x2y2+x3y解:1.4xy2-4x2y-y3=-y(-4xy+4x2+y2)=-y(2x-y)22.4a3-4a2+a=a(4a2-4a+1)=a(2a-1)23.xy3-2x2y2+x3y=xy(y2-2xy+x2)=xy(y-x)2七．添，拆项法分解很少的多项式以上方法都无法进行，这时适当考虑把其中一项拆或添项，再考虑适当的方法分解例7分解因式:x3-9x+8解法(一)：x3-9x-1+9=（x3-1)-(9x-9)=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+2x-8)=(x-1)(x+4)(x-2)解法二x3-9x+8=x3-x-8x+8=x(x2-1)-8(x-1)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2解法三：x3-9x+8=9x3-8x3-9x+8=9x(x2-1)-8(x2-1)解法四：x3-9x+8=x3-9x+8-x2+x2=(x3-x2)+(x2-9x+8)由此题可看出，用拆项，添项的方法分解因式式，要拆那些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项，添项是因式分解诸方法中技巧性最强的一种...