1二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式
教学难点：理解几何意义
教学过程：一、复习准备：1
提问：二元均值不等式有哪几种形式
答案：(0,0)2ababab及几种变式
练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=⋯
=2()0adbc二、讲授新课：1
教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd
→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号
②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法
证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd222()()()acbdadbcacbd
（要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量,,）（ba),(dc，与之间的夹角为，0
根据向量内积的定义，我们有：，cos所以，cos因为1cos，所以，所以2222||||abcdacbd证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则22()()()fxaxcbxd≥0恒成立
∴22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即22222()()()abcdacbd③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式
变式：2222||abcdacbd或2222||||abcdacbd或2222abcdacbd
④提出定理2：设,是两个向量，则||||||
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：什么时候等号成立
（是零向量，或者,共线）⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd
证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义
（构造三角形）2
