http://tjnuihs.nease.net/index.htm/zelinxu@Sohu.com主讲：徐泽林主讲：徐泽林天津师范大学数学科学学院微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。然而牛顿和莱布尼兹的微积分在逻辑上并不够严格，这使得他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。微积分理论在使用无限小概念上的随意与混乱，引起了所谓的“第二次数学危机”。为了消除早期微积分的逻辑缺陷，数学家们在其严格基础的重建方面做出了种种尝试。在18世纪的分析时代，先是达朗贝尔用初等的极限概念代替了牛顿含糊的首末比方法。后是欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论。拉格朗日则主张用泰勒级数来定义导数。欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。第二次数学危机第十章分析的严格化§10.1§10.1柯西与分析基础柯西与分析基础§10.2§10.2分析的算术化分析的算术化10.2.1魏尔斯特拉斯10.2.2实数理论10.2.3集合论的诞生§10.3§10.3分析的扩展分析的扩展10.3.1复分析的建立10.3.2解析数论的形成10.3.3数学物理与微分方程经过一个世纪的不懈努力，数学家们在严格化基础上重建微积分的尝试终于在19世纪初开始初见成效。其中最具影响力的先驱性人物当推法国数学家柯西。他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。以下是这方面的一些例子：§10.1§10.1柯西与分析基础柯西与分析基础BernardBolzanoAugustin-LouisCauchy柯西(1789~1857，法国)《无穷小分析教程》1．变量。“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”。2．函数。“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数”。按照这个定义，不仅无穷级数可以规定一个函数，而且也突破了函数必须有解析表达式的要求。3．极限。“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。4．无限小量。“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量”。柯西的无限小不再是一个无限小的固定数。5．连续函数。柯西第一次解决了函数连续性的定义问题。按他的定义，函数f(x)在给定限之间关于x保持连续，如果在这两限之间变量的每个无限小增量总产生函数f(x)本身的一个无限小增量。以往欧拉所说的“连续”是指光滑（即可微）函数，而在18世纪后期关于弦振动所引起的争论中，数学家们则把“连续性”理解为函数具有一致的解析表达式。dy=f‘(x)dx6．导数与微分。柯西把导数明确定义为差商hxhxfhxfxy,)()(当h无限地趋向于零的极限,函数的微分法则定义为以往常常是先取某种形式的微分作为基本概念，而把的导数作为表达式的“微分系数”而引入。dy=f‘(x)dxy=f(x)7．积分。柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的。也就是说需要首先对一大类函数给出积分的一般定义。设函数f(x)在给定区间[x0,x]上连续，并用点x0,x1,…,xn=x,把区间[x0,x]划分为n个子区间，对应于每个这样的划分，构造近似和：)()(111iiniixxxfS柯西证明这个和数当区间长趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为f(x)在区间[x0,x]上的积分1iixxxxdxxf0)(这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点xi-1用区间内任一点来代替，就得到现在所说的黎曼积分。ix在以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证明微积分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微积分基本定理被表述为：在区间[x0,x]上给定连续函数f(x),对于[x0,x]由xxxdxxfxF0)()(~定义的新函数)(~xF就是f(x)的原函数或反导数，即在[x0,x]上有.)()(~xfxF柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了...
