概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】?全概率公式：n1122SP()=|()||()()(|)()=()(|)()(|).innESAEBAPABPBPABPBPABPBPABPBAPAPAPABPBPABPB12设实验的样本空间为，为的事件，B，B，⋯⋯，B为的划分，且>0,则有：P?⋯其中有：。特别地：当n2时，有：?贝叶斯公式：i100(1,2,,),()(|)()(|)()(|)()=()(|)()(|)()(|)()(|)()iiiiniijESAEAPBinPBAPABPBPBAPAPABPBPABPABPBPBAPAPABPBPABPB12n设实验的样本空间为。为的事件,B，B，⋯⋯，B为S的一个划分，且P，⋯⋯则有：特别地：当n2时，有：【相关例题】1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件iA表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i123，，）。则31iiA，且PAi()0，321AAA、、两两互不相容，由全概率公式得（1）31)|()()(iiiAAPAPAP1000/37100210035100410025100510040（2）由贝叶斯公式得)|(2AAP=3122)|()()|()(jjjAAPAPAAPAP0.250.0410/3737/10002.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件表示：“此人来迟了”；事件iA分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（i123，，，4）。则41iiA，且PAi()0，4321AAAA、、、两两互不相容（1）由全概率公式得41)|()()(iiiAAPAPAP518152121101315141103（2）由贝叶斯公式得PAA(|)1=4111)|()()|()(jjjAAPAPAAPAP3131041/58题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式：()1fxdx，且对于任意实数，有：212211{}()()()xPxXxFxFxfxdxx。【相关例题】（1）设随机变量X的分布函数为：0,1xFX（X）=ln,1xxe1,xe①5(2)(03)(2)2PXPXPX求、、②().xfx求概率密度(1)(2)(2)ln2(03)(3)(0)101555(2)()(2)ln2241(2)()XXXXXPXPXPXFFPXFFdFXdxx解：1,1xex()xfx0,其他（2）2()()1Afxxx，是确定常数A。200+1-1+([arctan][arctan]11AdxxAxxA解：由相关性质得：解得：,036xx（3）设随机变量X具有概率密度f(x)=2,342xx，求X的分布函数。0,其他解：0，x<0,0306xxdxx2,0312xx3622,3403xxxx232,344xxx1,4x2、正态分布【相关公式】（1）公式22()21()()2xfxex其中：,,为常数，则称X服从参数为的正态分布。()Fx（2）若2~=~(0,1).xXNZN，，则（3）相关概率运算公式：122112{}{}();{}{}()();()1().XxxPXxPxxxxXPxXxPxx【相关例题】1、某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg计）服从N~（110,122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X，求：（1）{105},{100120};PXPX（2）确定最小的,{}0.05xPXx使2(1)~(110,12)1101051105{105}{}()1(0.42)10.66280.3372;121212100110110120110101010{100120}{}()()2()10.5934121212121212110110(2){}1{}1{}1212XNXPXPXPXPXxPXxPXxP解：min1101()0.0512110()0.95(1.65)121101.65129.812129.8xxxxx即有：2、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数10.05,0.06的正态分布，规定长度在围10.050.12为合格品，求一螺栓为不合格的概率。{}.9.9310.0510.0510.1710.0510.05(){}(22)2(2)10.95440.060.060.060.06()1()10.95440.0456APAXXPAPPPAPA解：设一螺栓合格，本题求【题型三】二维随机变量的概率密度和边缘概率密度事件的独立性1.设G为由抛物线yx2和yx所围成区域，()XY，在区域G上服从均匀分布，试求：（1）XY、的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量X与Y是否相互独立。解：如图所示，G的面积为yAxxdx()20116因此均匀分布定义得XY、的联合概率密度为o1xfxyxyG(,),(,),60其他而fxfxydydyxxxXxx()(,)()660122，fyfxydxdxyyyYyy()(,)()6601，所以关于X和关于Y的边...
